PDF-версии: 1. Тип Д8 C1 № 505676 
Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители
Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения
i
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни, принадлежащие промежутку 
Решение. а) Решим уравнение:
б) Выборка корней. Из серии 
При 
при 
Из серии 
При 
при 
при 
Из серии 
При 
при 
при 
при 
Ответ: а) 
б) 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 505676
а) б)
б) 
за 
соответственно. Продолжим прямую FM до пересечения с прямой BD в точке 
откуда 
откуда 
поскольку середина AB лежит в плоскости FNE:
и 
левая часть последнего неравенства неположительна, тогда как правая ее часть неотрицательна. Следовательно, неравенство выполняется при любом 
Значит, 
есть часть решений этого неравенства. 
неравенство примет вид: 
а это значит, что 5 — решение рассматриваемого неравенства. 
при любом 
тогда как 
на два подмножества: 
и 
и на каждом из них рассмотрим второе неравенство системы. Ясно, что на каждом из них 
значит, 
Тогда рассматриваемое неравенство имеет вид: 
Это значит, что на множестве 
решениями второго неравенства системы будет его подмножество 
т. е. 
Последнее неравенство от значений переменной не зависит, следовательно, 
выполняется для всех х, таких, что 
достаточно выполнения условия: 
и 
равны;
и b чётные, то суммы цифр чисел 
и 
равны;
и 
равны.
— сумма цифр натурального числа x, 
— количество его цифр, бóльших 4. Тогда 
-ый, разряд суммы происходит в том и только том случае, когда в k-ом разряде числа x стоит одна из цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то есть число переносов равно 
При каждом переносе вместо десятки, которая входит в сумму 
возникает единица, которая входит в 
то есть 
по сравнению с 
уменьшается на 9. Что и требовалось доказать.
-го разряда числа 
нечётна. Поэтому, 
Следовательно, для чисел a и b, составленных из одних и тех же цифр, 
Теперь, используя вспомогательное утверждение, получаем: 
и 
отличаются только перестановкой цифр, поэтому, используя пункт б), получаем: 