СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 505679

В окружности проведены хорды AC и BD, пересекающиеся в точке E, причем касательная к окружности, проходящая через точку A, параллельна BD. Известно, что CD : ED = 3 : 2, а площадь треугольника ABE равна 8.

а) Докажите, что треугольник ABD — равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника ABC.

Решение.

а) Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, который опирается на эту хорду. Поэтому ∠MAB = ∠BDA = ∠BCA = α так как прямые MN и BD параллельны, то ∠MAB = ∠ABD = α, как накрест лежащие. Отсюда получаем, что ∠ABD = ∠ADB = α, то есть треугольник ABD — равнобедренный (тогда AB = AD). Что и требовалось доказать.

б) Треугольники AEB и DEC подобны по 2-м углам (∠AEB = ∠CED, как вертикальные; ∠ABE = ∠ECD = α, как опирающиеся на одну дугу AD). Тогда

Треугольники ABE и ACB подобны по 2-м углам (∠BAE — общий, ∠ABE = ∠BCA = α — показано в предыдущем пункте). Тогда из подобия получим:

Отсюда получаем, что

 

Ответ: 18.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 54.
Методы геометрии: Свойства касательных, секущих, Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: Окружности, Подобие