СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 505681

Натуральные числа и получаются друг из друга перестановкой цифр. Докажите, что

а) суммы цифр чисел и равны;

б) если и чётные, то суммы цифр чисел и равны;

в) суммы цифр чисел и равны.

Решение.

Сначала докажем вспомогательное утверждение:

Пусть — сумма цифр натурального числа — количество его цифр, бóльших 4. Тогда

Доказательство.

Представим, что мы складываем число само с собой столбиком. Перенос единицы в очередной, -ый, разряд суммы происходит в том и только том случае, когда в -ом разряде числа стоит одна из цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то есть число переносов равно При каждом переносе вместо десятки, которая входит в сумму возникает единица, которая входит в то есть по сравнению с уменьшается на 9. Что и требовалось доказать.

а) будем использовать вспомогательное утверждение:

б) Заметим, что цифра -го разряда числа больше 4 в том и только в том случае, когда цифра -го разряда числа нечётна. Поэтому, равно количеству нечётных цифр в числе Следовательно, для чисел и составленных из одних и тех же цифр, Теперь, используя вспомогательное утверждение, получаем:

в) Числа и отличаются только перестановкой цифр, поэтому, используя пункт б), получаем:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 54.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства