Ре­ше­ние. а)  При­ме­ним фор­му­лы при­ве­де­ния, ис­поль­зу­ем фор­му­лу ко­си­ну­са двой­но­го угла:

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи еди­нич­ной окруж­но­сти. Под­хо­дят:

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Через точки K и M про­ве­дем со­от­вет­ствен­но пря­мые KL и MN, па­рал­лель­ные пря­мой CD. Эти пря­мые лежат в плос­ко­сти се­че­ния, а кроме того, пря­мая KL лежит в плос­ко­сти SCD, а пря­мая MN  — в плос­ко­сти SAB (по­сколь­ку пря­мые AB и CD па­рал­лель­ны). Пусть точки L и N лежат на реб­рах SD и SB со­от­вет­ствен­но. Тогда се­че­ни­ем пи­ра­ми­ды будет яв­лять­ся тра­пе­ция KLMN с ос­но­ва­ни­я­ми KL и MN, па­рал­лель­ны­ми пря­мой CD.

Пря­мые MN и AB па­рал­лель­ны, по­это­му по тео­ре­ме Фа­ле­са Пря­мые KL и CD тоже па­рал­лель­ны, от­ку­да

Плос­кие углы при вер­ши­не пи­ра­ми­ды равны, а по­то­му тре­уголь­ни­ки SLM и SKN равны. Сле­до­ва­тель­но, LM  =  KN, и тра­пе­ция KLMN рав­но­бед­рен­ная.

б)  Пря­мые CD, AB и MN па­рал­лель­ны, по­это­му ис­ко­мый угол равен углу KMN. Бо­ко­вые грани пи­ра­ми­ды яв­ля­ют­ся рав­но­сто­рон­ни­ми тре­уголь­ни­ка­ми, из п. а) из­вест­но, что

За­пи­шем тео­ре­му ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка SKN:

Тре­уголь­ни­ки ABC и SAC равны по трем сто­ро­нам, сле­до­ва­тель­но, угол ASC пря­мой. Таким об­ра­зом,

Из тео­ре­мы ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка KMN по­лу­ча­ем:

от­ку­да

тогда

Ответ: б)  

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим по­лу­чим не­ра­вен­ство ра­ци­о­наль­ное не­ра­вен­ство:

Вер­нем­ся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной, по­лу­чим урав­не­ние ре­ше­ни­ем ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся число  −1, и не­ра­вен­ство ре­ше­ни­я­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся числа, мень­шие −2.

Ответ:

Ре­ше­ние. Каж­дый июль долг дол­жен умень­шать­ся на 65 тыс. руб­лей. Вы­пла­ты будут со­сто­ять из вы­пла­ты ос­нов­но­го долга и суммы на­чис­лен­ных про­цен­тов. Тогда сумма вы­плат будет равна

Ответ: 1,3 млн руб­лей.

Ре­ше­ние. а)  Пусть тогда из рав­но­бед­рен­но­сти тре­уголь­ни­ка BKA сле­ду­ет, что Зна­чит, тре­уголь­ни­ки ACK и BCA по­доб­ны по двум углам (угол С  — общий). Из по­до­бия по­лу­ча­ем: от­ку­да

б)  За­ме­тим, что Сле­до­ва­тель­но,

Тогда по тео­ре­ме си­ну­сов по­лу­ча­ем, что от­ку­да KC  =  15. На­хо­дим:

Вы­со­та CH тре­уголь­ни­ка CKA равна

По­это­му

Найдём ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти:

Ответ: б)  

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что

и рас­смот­рим два воз­мож­ных слу­чая.

Слу­чай 1:

Слу­чай 2:

Таким об­ра­зом, при ис­ход­ное урав­не­ние имеет един­ствен­ное ре­ше­ние При урав­не­ние не имеет ре­ше­ний. При ре­ше­ни­я­ми урав­не­ния яв­ля­ют­ся два числа: и сов­па­да­ю­щие, если При един­ствен­ным ре­ше­ни­ем урав­не­ния яв­ля­ет­ся число

Ответ:

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Най­дем все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых имеет един­ствен­ное ре­ше­ние си­сте­ма

Пре­об­ра­зу­ем си­сте­му:

По­стро­им гра­фик по­лу­чен­ной си­сте­мы в си­сте­ме ко­ор­ди­нат xOa. Ана­ли­зи­руя гра­фик, при­хо­дим к вы­во­ду, что си­сте­ма имеет един­ствен­ное ре­ше­ние при или при

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  На­при­мер, числа 1, 2, 3, 5, 7, ..., 2045 (вы­пи­са­но 1023 нечётных числа от 1 до 2045 и число 2). Сумма 1 и лю­бо­го нечётного числа де­лит­ся на 2, сумма 1 и 2 де­лит­ся на 3, сумма любых двух чисел, от­лич­ных от 1, де­лит­ся на 1. Есть и дру­гие при­ме­ры.

б)  На­при­мер, под­хо­дят числа 1, 2, 3, 5, 2045.

в)  При­мер для четырёх чисел: 1, 2, 3, 2045. По­ка­жем, что трёх чисел быть не может. Дей­стви­тель­но, пусть три раз­лич­ных числа та­ко­вы, что Тогда:

от­ку­да в силу де­ли­мо­сти суммы двух мень­ших чисел на боль­шее по­лу­ча­ем: Сле­до­ва­тель­но,

от­ку­да в силу де­ли­мо­сти а  +  с на b по­лу­ча­ем, что Тогда b  =  2a и c  =  3a, а ис­ко­мая трой­ка чисел имеет вид a, 2a, 3a. По усло­вию одно из этих чисел равно 2045. По­сколь­ку число 2045 не де­лит­ся ни на 2, ни на 3, им может быть толь­ко число a. Но в этом слу­чае Про­ти­во­ре­чие.

Ответ: а)  да, на­при­мер: 1, 2, 3, 5, 7, ..., 2045; б)  может, на­при­мер: 1, 2, 3, 5, 2045; в)  4, на­при­мер, 1, 2, 3, 2045.