Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 641101
i

На сто­ро­нах AB, BC и AD со­от­вет­ствен­но квад­ра­та ABCD взяты точки M, K и N, такие, что A M : M B = 3 : 1, B K : K C = 2 : 1 и A N : N D = 1 : 2.

а)  До­ка­жи­те, что пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка MKCN со­став­ля­ет дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби пло­ща­ди квад­ра­та ABCD.

б)  Най­ди­те синус угла между диа­го­на­ля­ми че­ты­рех­уголь­ни­ка MKCN.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть AB = a, тогда

S_AMN = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби a умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби a = дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ,

S_MBK = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби a = дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби ,

S_NCD = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на a умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби a = дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,

от­ку­да

S_MKCN = a в квад­ра­те минус дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 24 минус 3 минус 2 минус 8, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби умно­жить на a в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби S_ABCD.

б)  Путь угол между пря­мы­ми MC и KN равен α. Тогда, по фор­му­ле пло­ща­ди про­из­воль­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка,

S_MKCN = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби MC умно­жить на KN синус альфа .

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра на­хо­дим:

MC в квад­ра­те = a в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те умно­жить на 17, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби ,

KN в квад­ра­те = a в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби a минус дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 10 a в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби ,

от­ку­да MC = дробь: чис­ли­тель: a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 17 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , KN = дробь: чис­ли­тель: a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . Сле­до­ва­тель­но,

синус альфа = дробь: чис­ли­тель: 2 S_MKCN, зна­ме­на­тель: MC умно­жить на KN конец дроби = дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби a в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: \tfrac a в квад­ра­те ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 170 конец ар­гу­мен­та 12 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 170 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Ответ: б) дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 170 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 428
Методы геометрии: Метод пло­ща­дей
Классификатор планиметрии: Мно­го­уголь­ни­ки и их свой­ства, От­но­ше­ние длин, пло­ща­дей, объ­е­мов по­доб­ных фигур
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025