Ре­ше­ние. а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти (см.  рис.). Под­хо­дят:

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пря­мая NM па­рал­лель­на об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са SB, и точка N лежит в плос­ко­сти SAB, по­это­му точка N лежит на от­рез­ке AB. При этом от­ре­зок MN  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка SAB, зна­чит, точка N  — се­ре­ди­на от­рез­ка AB. Сле­до­ва­тель­но, диа­метр PQ, со­дер­жа­щий от­ре­зок ON, пер­пен­ди­ку­ля­рен хорде AB. Кроме того, вы­со­та пи­ра­ми­ды SO пер­пен­ди­ку­ляр­на AB, сле­до­ва­тель­но, пря­мая AB пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти SON.

б)  Пусть точка H  — про­ек­ция точки M на плос­кость ос­но­ва­ния, тогда точка H  — се­ре­ди­на ра­ди­у­са ос­но­ва­ния OA. От­ре­зок MH  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка SOA. Тогда от­ре­зок BH  — про­ек­ция пря­мой BM на плос­кость ос­но­ва­ния, сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мый угол равен углу MBH. Пря­мые BH и ON пе­ре­се­ка­ют­ся в точке пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка OAB. Обо­зна­чим ее  K, тогда

от­ку­да

Таким об­ра­зом,

от­ку­да

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть будет за­кры­то x шахт, по­стро­е­но y за­во­дов и z фаб­рик, где x  — на­ту­раль­ное число, а y и z  — целые не­от­ри­ца­тель­ные числа. Тогда зна­чит, y  — чётное, но не крат­ное 4. Пусть где тогда

За­ме­тим, что и что   — крат­но 5. Пусть где имеем:

Для уве­ли­че­ния сум­мар­но­го числа S новых ра­бо­чих мест по­лу­ча­ем:

Это зна­че­ние до­сти­га­ет­ся при и

Ответ: 2530.

Ре­ше­ние. а)  Пусть сред­няя линия MN пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок PQ в точке K. Про­ве­дем пря­мую QD па­рал­лель­но сред­ней линии MN. Тогда че­ты­рех­уголь­ник DMNQ  — рав­но­бо­кая тра­пе­ция. Таким об­ра­зом,

От­рез­ки MK и DQ па­рал­лель­ны, и PM  =  MD, сле­до­ва­тель­но, PK  =  KQ.

б)  Пусть пря­мая PQ пе­ре­се­ка­ет впи­сан­ную окруж­ность в точ­ках X и Y. Тре­уголь­ник ABC рав­но­сто­рон­ний, зна­чит, точки ка­са­ния впи­сан­ной окруж­но­сти сов­па­да­ют с се­ре­ди­на­ми сто­рон. От­сю­да сле­до­ва­тель­но, По тео­ре­ме ко­си­ну­сов по­лу­ча­ем, что

от­ку­да

Пусть PX  =  t, по тео­ре­ме о квад­ра­те ка­са­тель­ной

от­ку­да тогда а зна­чит, На­хо­дим:

По смыс­лу за­да­чи зна­чит,

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Урав­не­ние имеет смысл при

При таких зна­че­ни­ях b в силу тож­де­ства по­лу­ча­ем:

и ис­ход­ное урав­не­ние рав­но­силь­но урав­не­нию

За­ме­тим, что если число яв­ля­ет­ся кор­нем по­лу­чен­но­го, а вме­сте с ним и ис­ход­но­го урав­не­ния, то и число яв­ля­ет­ся кор­нем этого урав­не­ния. Сле­до­ва­тель­но, чтобы урав­не­ние имело един­ствен­ный ко­рень, этим кор­нем долж­но быть число  0, и дру­гих кор­ней урав­не­ние иметь не долж­но. Найдём, при каких зна­че­ни­ях b число  0 яв­ля­ет­ся кор­нем, под­ста­вив в урав­не­ние

Про­ве­рим, что при урав­не­ние не имеет дру­гих кор­ней:

Зна­чит, при урав­не­ние, дей­стви­тель­но, имеет един­ствен­ный ко­рень.

Ответ: −20.

При­ме­ча­ние.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние, ос­но­ван­ное на той же идее. За­ме­тим сразу же, что если число яв­ля­ет­ся кор­нем по­лу­чен­но­го, а вме­сте с ним и ис­ход­но­го урав­не­ния, то и число яв­ля­ет­ся кор­нем этого урав­не­ния. Сле­до­ва­тель­но, чтобы урав­не­ние имело един­ствен­ный ко­рень, этим кор­нем долж­но быть число 0 и дру­гих кор­ней урав­не­ние иметь не долж­но. Под­став­ляя в урав­не­ние

по­лу­ча­ем:

Таким об­ра­зом, урав­не­ние может иметь ко­рень 0 толь­ко при най­ден­ных зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра. Оста­лось про­ве­рить, дей­стви­тель­но ли, для этих зна­че­ний число 0 яв­ля­ет­ся кор­нем и един­ствен­ным ли. Для в ис­ход­ном урав­не­нии не опре­де­ле­но вы­ра­же­ние зна­чит, это зна­че­ние b не под­хо­дит. При по­лу­ча­ем:

Зна­чит, при урав­не­ние, дей­стви­тель­но, имеет един­ствен­ный ко­рень.

Ответ: −20.

Ре­ше­ние. За­ме­тим пред­ва­ри­тель­но, что при умень­ше­нии числа пер­вым спо­со­бом

от­ку­да При умень­ше­нии вто­рым спо­со­бом

а)  По­сколь­ку все r_i боль­ше трех, их сред­нее ариф­ме­ти­че­ское не может быть равно трем.

б)  Да. Если умень­шать число 80 вто­рым спо­со­бом, оно пре­вра­тит­ся в то есть умень­шит­ся на 3,2. Умень­шим к тому же число 100 пер­вым спо­со­бом. Тогда и

в)  Пусть x чисел умень­ши­ли на 4, а осталь­ные на 4%. Тогда каж­дое из чисел умень­ши­ли как ми­ни­мум на Таким об­ра­зом, сумму всех чисел умень­ши­ли как ми­ни­мум на по­это­му

Если число умень­ши­ли на 4, то Зна­чит,

Это зна­че­ние до­сти­га­ет­ся, если взять 22 числа, рав­ных 80, и умень­шить 12 из них на 4, а осталь­ные 10  — на 4%.

Ответ: а) нет; б) да; в)