Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 630038
i

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC на ги­по­те­ну­зу AB опу­ще­на вы­со­та CH. В тре­уголь­ни­ке ACH про­ве­де­на бис­сек­три­са CE угла ACH.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник BCE  — рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те EO, где O  — центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC, и из­вест­но, что AC  =  8, BC  =  6.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  За­ме­тим, что \angle ACH=90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус \angle BCH=\angle B. Тогда

\angle BCE=90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус \angle B плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \angle B=90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \angle B=\angle BEC.

От­сю­да по­лу­ча­ем, что тре­уголь­ник BEC рав­но­бед­рен­ный. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Точка O лежит на бис­сек­три­се угла B, а тре­уголь­ник BCE рав­но­бед­рен­ный, зна­чит, EO  =  CO. Най­дем CO. Это диа­го­наль квад­ра­та, сто­ро­на ко­то­ро­го равна ра­ди­у­су окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC. Этот ра­ди­ус, в свою оче­редь, можно найти из фор­му­лы S=pr, от­ку­да AB= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 8 в квад­ра­те плюс 6 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =10. Тогда пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна 24, а по­лу­пе­ри­метр равен \dfrac6 плюс 8 плюс 102=12. Зна­чит, ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти равен 2, а от­ре­зок EO=CO=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: б) 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 396
Методы геометрии: Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра
Классификатор планиметрии: Окруж­но­сти и тре­уголь­ни­ки, Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг тре­уголь­ни­ка
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025