Ре­ше­ние. а)  Ис­поль­зу­ем фор­му­лу си­ну­са суммы:

б)  Отберём корни при по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти. Под­хо­дят

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен R, тогда сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна Обо­зна­чим вы­со­ту ци­лин­дра H, а вы­со­ту пи­ра­ми­ды h. За­пи­шем те­перь объёмы ци­лин­дра и пи­ра­ми­ды:

От­сю­да

б)  Пусть точки M и N  — се­ре­ди­ны AB и CD со­от­вет­ствен­но. Пря­мые MN и CD вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны, пря­мые SO и CD также вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны, сле­до­ва­тель­но, пря­мая CD пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти SMN и пря­мая AB пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти SMN. Рас­сто­я­ние между скре­щи­ва­ю­щи­ми­ся пря­мы­ми равно рас­сто­я­нию между их про­ек­ци­я­ми на плос­кость, пер­пен­ди­ку­ляр­ную одной из них. Таким об­ра­зом, не­об­хо­ди­мо найти рас­сто­я­ние от точки N до пря­мой SM  — вы­со­ту NH тре­уголь­ни­ка SMN. Имеем:

Тогда

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Ра­ци­о­на­ли­зи­ру­ем не­ра­вен­ство:

Рас­смот­рим два слу­чая рас­кры­тия мо­ду­ля.

1.  При по­лу­ча­ем:

2.  При по­лу­ча­ем:

Объ­еди­няя ре­зуль­та­ты двух слу­ча­ев, по­лу­ча­ем, что

Ответ:

Ре­ше­ние. По­га­ше­ние кре­ди­та про­ис­хо­дит по диф­фе­рен­ци­ро­ван­ной схеме. Сле­до­ва­тель­но, за­ем­щик еже­год­но будет вы­пла­чи­вать в счет по­га­ше­ния ос­нов­но­го долга по млн руб. Кроме того, будут пе­ре­пла­ты банку, ко­то­рые об­ра­зу­ют ко­неч­ную убы­ва­ю­щую ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию p_n, пер­вый член ко­то­рой (млн руб.), а по­след­ний n-⁠й член (наи­мень­ший из всех пе­ре­плат) Таким об­ра­зом, сумма наи­боль­шей и наи­мень­шей го­до­вых вы­плат долга со­ста­вит

что по усло­вию за­да­чи равно 7,74.

Решим урав­не­ние:

Зная ко­ли­че­ство лет, най­дем сумму всех пе­ре­плат за­ем­щи­ка. Пре­жде за­ме­тим, что Най­дем p₅:

Те­перь вы­чис­лим сумму всех пе­ре­плат:

Общая сумма вы­плат со­став­ля­ет  (млн руб­лей).

Ответ: 19,35 млн руб.

Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что Тогда

От­сю­да по­лу­ча­ем, что тре­уголь­ник BEC рав­но­бед­рен­ный. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Точка O лежит на бис­сек­три­се угла B, а тре­уголь­ник BCE рав­но­бед­рен­ный, зна­чит, EO  =  CO. Най­дем CO. Это диа­го­наль квад­ра­та, сто­ро­на ко­то­ро­го равна ра­ди­у­су окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC. Этот ра­ди­ус, в свою оче­редь, можно найти из фор­му­лы от­ку­да Тогда пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна 24, а по­лу­пе­ри­метр равен Зна­чит, ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти равен 2, а от­ре­зок

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

По­лу­чен­ное урав­не­ние имеет ре­ше­ния при

При по­лу­ча­ем:

При по­лу­ча­ем:

Объ­еди­няя ре­зуль­та­ты, по­лу­ча­ем ответ.

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Если это число 1, то оно квад­рат, но оно за­пре­ще­но по усло­вию. Кроме него таких чисел нет. В самом деле, 10 не квад­рат, а любое дру­гое число кон­ча­ет­ся либо на 101, либо на 010, по­это­му при де­ле­нии на 8 дает оста­ток 5 или 2. (На­пом­ним, что число де­лит­ся на 8 тогда и толь­ко тогда, когда число, об­ра­зо­ван­ное тремя его по­след­ни­ми циф­ра­ми де­лит­ся на 8).

Од­на­ко квад­ра­ты чисел при де­ле­нии на 8 дает в остат­ке лишь 0, 1, 4. До­ка­жем это, рас­смот­рев квад­ра­ты чисел, да­ю­щих раз­лич­ные остат­ки от де­ле­ния на 4 (см.  табл.)

x	x2	Оста­ток от де­ле­ния на 8
		0
		1
		4
		1

По­лу­чен­ное про­ти­во­ре­чие до­ка­зы­ва­ет тре­бу­е­мое.

б)  Числа, за­кан­чи­ва­ю­щи­е­ся нулем, чет­ные, а по­то­му со­став­ные. Про­сты­ми могут быть толь­ко числа, за­кан­чи­ва­ю­щи­е­ся на еди­ни­цу, то есть числа

Число 101    — про­стое. Если умно­жить любое из остав­ших­ся чисел на 11, по­лу­чим число, за­пи­сы­ва­ю­ще­е­ся чет­ным чис­лом еди­ниц и рас­кла­ды­ва­ю­ще­е­ся мно­жи­те­ли вида (В пер­вом мно­жи­те­ле вдвое мень­ше еди­ниц, чем в самом по­лу­чен­ном числе. На­при­мер, из числа 1 010 101 умно­же­ни­ем на 11 по­лу­ча­ем 11 111 111  =  1111 · 10 001.) Оба мно­жи­те­ля боль­ше 11, по­это­му после де­ле­ния од­но­го из них на 11, остав­ши­е­ся мно­жи­те­ли все еще будут боль­ше еди­ни­цы, и число будет со­став­ным.

в)  За­ме­тим, что 10101 крат­но 13. По­это­му при де­ле­нии числа на 13 в стол­бик от него будут от­ре­зать­ся пер­вые 6 цифр и даль­ше нужно будет де­лить число та­ко­го же вида, в ко­то­ром на три еди­ни­цы мень­ше. Зна­чит, оста­ет­ся про­ве­рить толь­ко числа с одной, двумя и тремя еди­ни­ца­ми. Лишь по­след­нее крат­но 13. По­это­му ко­ли­че­ство еди­ниц долж­но быть крат­но трем.

Ответ: а)  нет; б)  толь­ко число 101; в)  любое, крат­ное трем, ко­ли­че­ство еди­ниц..