Ре­ше­ние. а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

б)  Отберём корни при по­мо­щи еди­нич­ной окруж­но­сти. Под­хо­дят:

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  При пе­ре­се­че­нии двух па­рал­лель­ных плос­ко­стей тре­тьей линии пе­ре­се­че­ния пред­став­ля­ют из себя па­рал­лель­ные пря­мые, сле­до­ва­тель­но, пря­мые AF и EC₁ па­рал­лель­ны, пря­мые AE и FC₁. Таким об­ра­зом, AFC₁E  — па­рал­ле­ло­грамм.

б)  Пусть DE  =  x, тогда, по­сколь­ку AFC₁E  — ромб,

Таким об­ра­зом, DE  =  B₁F  =  3, BF  =  ED₁  =  2. Про­ведём пря­мую EE₁ па­рал­лель­но пря­мой BD, B₁E  =  ED₁  =  2, FE₁  =  1. Тогда

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Ис­поль­зуя свой­ства ло­га­риф­мов вы­пол­ним рав­но­силь­ные пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ:

Ре­ше­ние. Вне­сем в таб­ли­цу ве­ли­чи­ну на­чис­лен­ных про­цен­тов и ве­ли­чи­ну долга на 15 число каж­до­го из ме­ся­цев.

Номер ме­ся­ца	Сумма на­чис­лен­ных про­цен­тов, тыс. руб.	Долг на 15 число ме­ся­ца, тыс. руб.
1
2
3
...	...	...
24
25
26		m
27		0

Общая сумма вы­плат скла­ды­ва­ет­ся из суммы взя­той в кре­дит и суммы на­чис­лен­ных про­цен­тов. Всего банку будет вы­пла­че­но:

Решим си­сте­му урав­не­ний:

Найдём от­но­ше­ние

Ответ: 8.

Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что углы CBN и MDA равны как на­крест ле­жа­щие. По­это­му пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки CBN и ADM по­доб­ны по остро­му углу. Зна­чит, BN : DM  =  BC : AD  =  3 : 4. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Пусть BM  =  x, MN  =  y, ND  =  z. Тогда из усло­вия 3x  =  2z и 4(x + y)  =  3(y + z). От­сю­да x  =  2y, z  =  3y. Пусть AM  =  4t, CN  =  3t. Тогда из тео­ре­мы Пи­фа­го­ра сле­ду­ет, что

От­сю­да

За­пи­шем тео­ре­му Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ка BNC: Зна­чит, по­это­му сле­до­ва­тель­но, а

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем пер­вое урав­не­ние си­сте­мы:

В си­сте­ме ко­ор­ди­нат xOy гра­фи­ком пер­во­го урав­не­ния по­лу­чен­ной со­во­куп­но­сти яв­ля­ет­ся квад­рат с вер­ши­на­ми в точ­ках и а гра­фи­ком вто­ро­го урав­не­ния яв­ля­ет­ся объ­еди­не­ние двух ги­пер­бол (см. рис.). Точки пе­ре­се­че­ния ги­пер­бол и квад­ра­та в пер­вой чет­вер­ти найдём из си­сте­мы

В осталь­ных чет­вер­тях точки пе­ре­се­че­ния сим­мет­рич­ны най­ден­ным и имеют ко­ор­ди­на­ты и

Гра­фи­ком вто­ро­го урав­не­ния ис­ход­ной си­сте­мы при яв­ля­ет­ся окруж­ность с цен­тром в на­ча­ле ко­ор­ди­нат и ра­ди­у­сом a. Ле­жа­щие в пер­вой чет­вер­ти точки пе­ре­се­че­ния ги­пер­бо­лы и окруж­но­сти опре­де­ля­ют­ся из си­сте­мы урав­не­ний

По­ло­жи­тель­ным ре­ше­ни­ем урав­не­ния яв­ля­ет­ся число При этом зна­че­нии па­ра­мет­ра урав­не­ние имеет ровно одно ре­ше­ние, ле­жа­щее в пер­вой чет­вер­ти, а по­то­му в силу сим­мет­рии ги­пер­бо­ла имеет с окруж­но­стью ровно 4 общих точки, ле­жа­щих по одной в каж­дой ко­ор­ди­нат­ной чет­вер­ти. При общих точек нет. При вы­ра­же­ние по­ло­жи­тель­но, по­это­му ги­пер­бо­ла и окруж­ность пе­ре­се­ка­ют­ся в 8 точ­ках, ле­жа­щих по две в каж­дой ко­ор­ди­нат­ной чет­вер­ти.

Ко­ли­че­ство ре­ше­ний ис­ход­ной си­сте­мы сов­па­да­ет с ко­ли­че­ством точек пе­ре­се­че­ния окруж­но­сти и гра­фи­ка пер­во­го урав­не­ния си­сте­мы. По­лу­ча­ем, что

—  при си­сте­ма не имеет ре­ше­ний;

—  при си­сте­ма имеет 4 ре­ше­ния;

—  при си­сте­ма имеет 8 ре­ше­ний;

—  при си­сте­ма имеет 12 ре­ше­ний;

—  при си­сте­ма имеет 16 ре­ше­ний;

—  при си­сте­ма имеет 8 ре­ше­ний;

—  при си­сте­ма имеет 16 ре­ше­ний;

—  при си­сте­ма имеет 12 ре­ше­ний;

—  при си­сте­ма имеет 8 ре­ше­ний.

Най­дем гра­нич­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра из гео­мет­ри­че­ских со­об­ра­же­ний:

(окруж­ность впи­са­на в квад­рат);

(окруж­ность про­хо­дит через точки пе­ре­се­че­ния квад­ра­та и ги­пер­бол); (квад­рат впи­сан в окруж­ность).

Таким об­ра­зом, ис­ход­ная си­сте­ма имеет не менее 12 ре­ше­ний при или

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть ко­ли­че­ство акул x + 1, ска­тов y + 1 и мурен z + 1. От­се­лим сразу в от­дель­ный ак­ва­ри­ум одну акулу, му­ре­ну и ската. Вме­сте они по­лу­чат 2,5 + 1,5 + 0,2  =  4,2 кг рыбы, а по­смот­рит на них 260 + 150 + 21  =  431 по­се­ти­тель. От­се­ле­ни­ем га­ран­ти­ру­ет­ся, что в оке­а­на­ри­уме пред­став­ле­ны и акулы, и му­ре­ны, и скаты. Среди остав­ших­ся хищ­ни­ков ка­ко­го-то клас­са может не быть.

а)  По усло­вию 2,5x + 1,5y + 0,2z  =  2,3. Ясно тогда, что x  =  0. Если y  =  0, то 0,2z  =  2,3, от­ку­да z  =  11,5, что не­воз­мож­но. Если же y ⩾ 2, то

Зна­чит, y  =  1, z  =  4. Таким об­ра­зом, в оке­а­на­ри­уме живет одна акула, два ската и пять мурен. Их по­се­ща­ют 260 + 300 + 105  =  665 че­ло­век.

б)  Если в оке­а­на­ри­уме есть два ската, то их можно за­ме­нить на 15 мурен  — они едят столь­ко же, но дают 15 · 21  =  315 > 300 по­се­ти­те­лей. Ана­ло­гич­но можно за­ме­нить двух акул на 25 мурен  — число по­се­ти­те­лей ста­нет 25 · 21  =  525 > 2 · 260. На­ко­нец, можно за­ме­нить акулу и ската на 20 мурен, по­сколь­ку 20 · 21  =  420 > 260 + 150.

Итак, можно счи­тать, что все жи­вот­ные, не счи­тая от­се­лен­ных, кроме, воз­мож­но, од­но­го  — му­ре­ны. Тогда число по­се­ти­те­лей будет наи­боль­шим. По­треб­ля­ют они 18,4 − 4,2  =  14,2 кг рыбы. Это могла бы быть 14,2 : 0,2  =  71 му­ре­на, тогда они при­влек­ли бы 71 · 21  =  1491 по­се­ти­те­ля, а вме­сте с от­се­лен­ны­ми 1491 + 431 < 2000. Если же кроме мурен будет еще один скат или одна акула, то число мурен по­лу­чит­ся (14,2 − 2,5) : 0,2 или (14,2 − 1,5) : 0,2. И то и дру­гое  — не­це­лые числа, по­это­му такие си­ту­а­ции не­воз­мож­ны.

в)  Все хищ­ни­ки, кроме от­се­лен­ных, по­треб­ля­ют 7 − 4,2  =  2,8 кг рыбы. Среди них не может быть акулы (по­то­му что 2,8 − 2,5  =  0,3 кг рыбы не раз­дать), не может быть од­но­го ската (по­то­му что 2,8 − 1,5  =  1,3 кг рыбы не раз­дать му­ре­нам) и не может быть боль­ше од­но­го ската (они съели бы не менее 3 кг). По­это­му един­ствен­ный ва­ри­ант  — раз­дать эту рыбу 2,8 : 0,2  =  14 му­ре­нам, ко­то­рые при­вле­кут 14 · 21  =  294 по­се­ти­те­ля. Тогда общее число по­се­ти­те­лей ста­нет 431 + 294  =  725 че­ло­век.

Ответ: а) 665; б) нет; в) 725.