Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 564706
i

В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD длины ос­но­ва­ний AD и BC со­от­вет­ствен­но равны 4 и 3. Точки M и N лежат на диа­го­на­ли BD, при­чем точка M рас­по­ло­же­на между точ­ка­ми B и N, а от­рез­ки AM и CN пер­пен­ди­ку­ляр­ны диа­го­на­ли BD.

а)  До­ка­жи­те, что BN : DM  =  3 : 4.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка CN, если из­вест­но, что BM : DN  =  2 : 3.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  За­ме­тим, что углы CBN и MDA равны как на­крест ле­жа­щие. По­это­му пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки CBN и ADM по­доб­ны по остро­му углу. Зна­чит, BN : DM  =  BC : AD  =  3 : 4. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Пусть BM  =  x, MN  =  y, ND  =  z. Тогда из усло­вия 3x  =  2z и 4(x + y)  =  3(y + z). От­сю­да x  =  2y, z  =  3y. Пусть AM  =  4t, CN  =  3t. Тогда из тео­ре­мы Пи­фа­го­ра сле­ду­ет, что

левая круг­лая скоб­ка 4t пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 2y пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =AB в квад­ра­те =CD в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка 3t пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 3y пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те .

От­сю­да 7t в квад­ра­те =5y в квад­ра­те .

За­пи­шем тео­ре­му Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ка BNC: левая круг­лая скоб­ка 3t пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 3y пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =3 в квад­ра­те . Зна­чит, t в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те =1, по­это­му дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби t в квад­ра­те =1, сле­до­ва­тель­но, t= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби конец ар­гу­мен­та , а CN=3t= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

Ответ: б) дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 358
Методы геометрии: Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра
Классификатор планиметрии: Мно­го­уголь­ни­ки и их свой­ства, По­до­бие
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026