PDF-версии: 1. Тип 13 № 559902 
Классификатор алгебры: Модуль числа, модуль выражения, Сравнение чисел, Тригонометрические уравнения
Методы алгебры: Перебор случаев, Тригонометрические формулы суммы и разности аргументов
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
Уравнения. Тригонометрические уравнения, разные задачи
i
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Преобразуем уравнение:
При 
получим 
Условию 
соответствует только 
При 
получим
Условию соответствует только 
б) Для отбора корней используем единичную окружность. На заданном промежутке лежат корни 
и 
Ответ: а) 
б) 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 559902
а) б)
б) Классификатор алгебры: Модуль числа, модуль выражения, Сравнение чисел, Тригонометрические уравнения
Методы алгебры: Перебор случаев, Тригонометрические формулы суммы и разности аргументов
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
BC = 6. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей прямоугольника. Из вершин A и C опущены перпендикуляры AP и CQ на ребро SB. 
и 
их высоты соответственно. Тогда
сложим их, затем перейдем к основанию 6 и вычтем из полученной левой части правую часть неравенства; затем применим метод рационализации:
тогда
Тогда высоты трапеций FLMP и KFPN равны, поэтому их площади относятся как 
Поэтому площадь треугольника FEP составляет 
высоты трапеции KLMN или 
высоты трапеции FLMP. Значит, по теореме о пропорциональных отрезках, 
то есть 
Теперь заметим, что треугольники LME и FPN подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Отсюда углы MEL и PNF равны, поэтому прямые LE и FN параллельны. Что и требовалось доказать.
Заметим, что 
Затем, треугольник LEK равнобедренный (высота в нем совпадает с медианой). Поэтому 
тыс. руб., а цена одной акции из третьего пакета равна 
тыс. руб., причем из условия следует, что 
Требуется определить наибольшее и наименьшее значение величины 
выраженное в процентах. Из условия имеем: 
Рассмотрим дробь 
Обратная ей дробь равна 
То есть если мы найдем отношение 
то задача будет решена. Из первого, второго и четвертого уравнений системы получим 
Из третьего уравнения выразим y через x, получим 
Подставим это выражение для y в первое уравнение и выразим x через n и m:
Получим: 
Раскроем скобки, приведем подобные члены и перенесем слагаемые в одну сторону, получим: 
Разделим обе части равенства на 
и решим квадратное уравнение относительно 
:
и 
То есть 
Подставим это соотношение в выражение (1):
Из третьего уравнения выразим y через x, получим 
Подставим это выражение для y в первое уравнение и выразим x через n и m. Получим: 
Подставим это выражение для x в уравнение (3). Получим: 
Разделим обе части равенства на 2 и умножим на 
. Получим: 
Раскроем скобки, приведем подобные члены и перенесем слагаемые в одну сторону, получим: 
Разделим обе части равенства на 
и 
Так как n и m — натуральные числа, нам подходит только 
То есть 
Подставим это соотношение в выражение (1):
является решением системы, то пара чисел 
тоже является решением системы. Значит, чтобы решение было единственным, необходимо, чтобы 
С учётом второго уравнения системы получаем, что единственным решением может являться либо пара чисел 
либо пара чисел 
Проверим есть ли другие решения при этом значении параметра. Подставляя найденное значение параметра, находим:
и 
тогда левая часть первого уравнения системы неотрицательна, а правая неположительна, причём равенство достигается только при 
и 
Значит, при 
система имеет единственное решение.
является решением системы при 
Подставляя найденное значение параметра, находим:
Значит, при 
система имеет более одного решения.
