Введём обо­зна­че­ния так, как по­ка­за­но в таб­ли­це (вы­де­ле­но цве­том), и затем за­пол­ним остав­ши­е­ся ячей­ки по дан­ным из усло­вия:

	Пер­вый пакет	Вто­рой пакет	Тре­тий пакет
Цена одной акции, тыс. руб.	x
Ко­ли­че­ство акций в па­ке­те, шт	y	ly
Цена па­ке­та, тыс. руб.	xy

За­ме­тим, что цена одной акции из вто­ро­го па­ке­та равна тыс. руб., а цена одной акции из тре­тье­го па­ке­та равна тыс. руб., при­чем из усло­вия сле­ду­ет, что Тре­бу­ет­ся опре­де­лить наи­боль­шее и наи­мень­шее зна­че­ние ве­ли­чи­ны вы­ра­жен­ное в про­цен­тах. Из усло­вия имеем:

От­рез­ки [a; b] и [c; d] пе­ре­се­ка­ют­ся тогда и толь­ко тогда, когда а ≤ d и с ≤ b од­но­вре­мен­но, по­это­му по­лу­чен­ная си­сте­ма имеет ре­ше­ния тогда и толь­ко тогда, когда:

Решим эту си­сте­му на ин­тер­ва­ле (0; 4):

Тем самым,

т. е. ис­ко­мая доля ме­ня­ет­ся от 12,5% до 15%.

Ответ: 12,5% и 15%.

При­ме­ча­ние.

За­ме­тим, что при най­ден­ных зна­че­ни­ях l су­ще­ству­ет такие зна­че­ния цены акций пер­во­го па­ке­та х, что цены акций вто­ро­го и тре­тье­го па­ке­тов под­чи­ня­ют­ся ука­зан­ным в усло­вии огра­ни­че­ни­ям. При этом ко­ли­че­ство акций в пер­вом па­ке­те может быть любым на­ту­раль­ным чис­лом: ни усло­вие, ни ре­ше­ние от этого ко­ли­че­ства не за­ви­сят. С дру­гой сто­ро­ны, для ре­ше­ния за­да­чи су­ще­ствен­но, что цены всех акций в каж­дом па­ке­те оди­на­ко­вы. Об этом ав­то­рам сле­до­ва­ло на­пи­сать в усло­вии более от­чет­ли­во.

При­ведём ре­ше­ние И. В. Фельд­ман.

Будем счи­тать, что общая сто­и­мость акций фик­си­ро­ва­на. Да­вай­те для на­ча­ла вве­дем пе­ре­мен­ные:

Тогда сто­и­мость пер­во­го па­ке­та акций равна nx, вто­ро­го my, тре­тье­го (n + m)z.

Те­перь вни­ма­тель­но чи­та­ем за­да­чу:

1.  Пер­вый пакет в 4 раза де­шев­ле вто­ро­го, сле­до­ва­тель­но, 4nx = my.

2.  Сум­мар­ная сто­и­мость пер­во­го и вто­ро­го па­ке­тов сов­па­да­ет со сто­и­мо­стью тре­тье­го па­ке­та, сле­до­ва­тель­но,

nx + my  =  z(n + m).

3.  Одна акция из вто­ро­го па­ке­та до­ро­же одной акции из из пер­во­го па­ке­та на ве­ли­чи­ну, за­клю­чен­ную в пре­де­лах от 16 тыс. р. до 20 тыс. р., сле­до­ва­тель­но, 16 ≤ y − x ≤ 20.

4.  Цена акции из тре­тье­го па­ке­та не мень­ше 42 тыс. р. и не боль­ше 60 тыс. р., сле­до­ва­тель­но, 42 ≤ z ≤ 60.

По­лу­чи­ли си­сте­му усло­вий:

В первую оче­редь раз­бе­рем­ся с не­ра­вен­ства­ми. По усло­вию за­да­чи нам нужно найти, какой наи­мень­ший и наи­боль­ший про­цент от об­ще­го ко­ли­че­ства акций может со­дер­жать­ся в пер­вом па­ке­те.

Этот про­цент равен

Сна­ча­ла най­дем, при каких усло­ви­ях этот про­цент будет наи­мень­шим. Общее сум­мар­ное ко­ли­че­ство акций пер­вых двух па­ке­тов сов­па­да­ет с общим ко­ли­че­ством акций в тре­тьем па­ке­те. По­это­му чем мень­ше акций в тре­тьем па­ке­те, тем мень­ше сум­мар­ное ко­ли­че­ство акций в пер­вых двух па­ке­тах. Акций в тре­тьем па­ке­те тем мень­ше, чем боль­ше их сто­и­мость. Сле­до­ва­тель­но, чтобы по­лу­чить наи­мень­ший про­цент акций из пер­во­го па­ке­та, мы долж­ны взять наи­боль­шую сто­и­мость акций из тре­тье­го, то есть берем z = 60.

Далее. Чем де­шев­ле акции из вто­ро­го па­ке­та, тем их боль­ше, и тем мень­ше оста­ет­ся акций в пер­вом па­ке­те (сум­мар­ное ко­ли­че­ство акций пер­вых двух па­ке­тов сов­па­да­ет с общим ко­ли­че­ством акций в тре­тьем па­ке­те). Сле­до­ва­тель­но, раз­ность между сто­и­мо­стью акции из пер­во­го па­ке­та и акции из вто­ро­го па­ке­та долж­на быть наи­мень­шей. По­это­му берем y − x = 16.

По­лу­чи­ли си­сте­му урав­не­ний:

В этой си­стем 4 урав­не­ния и 5 не­из­вест­ных, по­это­му мы не можем найти зна­че­ние каж­дой не­из­вест­ной ве­ли­чи­ны. Но мы можем найти их со­от­но­ше­ние. Для этого вер­нем­ся вер­нем­ся к во­про­су за­да­чи. Нам нужно найти зна­че­ние вы­ра­же­ния Рас­смот­рим дробь Об­рат­ная ей дробь равна То есть если мы най­дем от­но­ше­ние то за­да­ча будет ре­ше­на. Из пер­во­го, вто­ро­го и чет­вер­то­го урав­не­ний си­сте­мы по­лу­чим Из тре­тье­го урав­не­ния вы­ра­зим y через x, по­лу­чим Под­ста­вим это вы­ра­же­ние для y в пер­вое урав­не­ние и вы­ра­зим x через n и m:

Под­ста­вим это вы­ра­же­ние для x в урав­не­ние (2). По­лу­чим:

Раз­де­лим обе части ра­вен­ства на 20 и умно­жим на По­лу­чим: Рас­кро­ем скоб­ки, при­ве­дем по­доб­ные члены и пе­ре­не­сем сла­га­е­мые в одну сто­ро­ну, по­лу­чим: Раз­де­лим обе части ра­вен­ства на и решим квад­рат­ное урав­не­ние от­но­си­тель­но :

По­лу­чим 2 зна­че­ния и

Так как n и m  — на­ту­раль­ные числа, нам под­хо­дит толь­ко То есть Под­ста­вим это со­от­но­ше­ние в вы­ра­же­ние (1):

Итак, наи­мень­ший про­цент от об­ще­го ко­ли­че­ства акций, ко­то­рый может со­дер­жать­ся в пер­вом па­ке­те, равен 12,5%. Ана­ло­гич­ным об­ра­зом най­дем наи­боль­ший про­цент от об­ще­го ко­ли­че­ства акций, ко­то­рый может со­дер­жать­ся в пер­вом па­ке­те. По­лу­чим си­сте­му урав­не­ний:

Из пер­во­го, вто­ро­го и чет­вер­то­го урав­не­ний по­лу­чим Из тре­тье­го урав­не­ния вы­ра­зим y через x, по­лу­чим Под­ста­вим это вы­ра­же­ние для y в пер­вое урав­не­ние и вы­ра­зим x через n и m. По­лу­чим: Под­ста­вим это вы­ра­же­ние для x в урав­не­ние (3). По­лу­чим: Раз­де­лим обе части ра­вен­ства на 2 и умно­жим на . По­лу­чим: Рас­кро­ем скоб­ки, при­ве­дем по­доб­ные члены и пе­ре­не­сем сла­га­е­мые в одну сто­ро­ну, по­лу­чим: Раз­де­лим обе части ра­вен­ства на умно­жим на −1 и решим квад­рат­ное урав­не­ние от­но­си­тель­но

По­лу­чим 2 зна­че­ния: и Так как n и m  — на­ту­раль­ные числа, нам под­хо­дит толь­ко То есть Под­ста­вим это со­от­но­ше­ние в вы­ра­же­ние (1):

Итак, наи­боль­ший про­цент от об­ще­го ко­ли­че­ства акций, ко­то­рый может со­дер­жать­ся в пер­вом па­ке­те, равен 15%.

Ответ: 12,5% и 15%.