Ре­ше­ние. а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи еди­нич­ной окруж­но­сти, найдём: и

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Рас­смот­рим ме­ди­а­ну CH в тре­уголь­ни­ке CAD и ме­ди­а­ну BH в тре­уголь­ни­ке BAD. За­ме­тим, что сле­до­ва­тель­но, Таким об­ра­зом, тре­уголь­ни­ки HKM и HBC по­доб­ны, а пря­мые KM и BC па­рал­лель­ны.

б)  От­ре­зок CK со­еди­ня­ет вер­ши­ну C c точ­кой K  — цен­тром про­ти­во­по­лож­ной грани BAD, сле­до­ва­тель­но, CK  — вы­со­та тет­ра­эд­ра, и пря­мая CK пер­пен­ди­ку­ляр­на грани BDA. Тогда плос­кость BCH пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти BAD, сле­до­ва­тель­но, про­ек­ция KM  — это пря­мая BH, а ис­ко­мый угол  — HKM. Найдём его из тре­уголь­ни­ка KMH. Пусть ребро тет­ра­эд­ра a, тогда По тео­ре­ме ко­си­ну­сов,

а тогда

Ответ: б)

При­ве­дем ре­ше­ние Ирины Шраго пунк­та б).

За­ме­тим, что, со­глас­но п. а), угол между пря­мой KM и плос­ко­стью ABD равен углу между пря­мой BC и плос­ко­стью ABD, то есть углу CBK.

Пусть ребро тет­ра­эд­ра рано a, тогда

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем первую скоб­ку. Пусть тогда

от­ку­да для пер­во­го сла­га­е­мо­го по­лу­ча­ем:

Во вто­ром сла­га­е­мом пе­рей­дем к ос­но­ва­нию 2:

Тогда сумма сла­га­е­мых в пер­вой скоб­ке равна

Пре­об­ра­зу­ем вто­рую скоб­ку:

Тогда при усло­вии то есть при за­пи­шем ис­ход­ное не­ра­вен­ство в упро­щен­ном виде и при­ме­ним метод ин­тер­ва­лов (см. рис.):

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пусть O₁ и O₂  — цен­тры окруж­но­стей. Пря­мые AO₁ и O₂D равны и па­рал­лель­ны, сле­до­ва­тель­но, AO₁O₂D  — па­рал­ле­ло­грамм, от­ку­да Далее,

как ра­ди­у­сы, зна­чит, По­это­му ABCD  — ромб.

б)  Пусть R и T  — точки ка­са­ния окруж­но­стей и их общей ка­са­тель­ной. Тогда RO₁O₂T  — пря­мо­уголь­ник, вы­со­та тре­уголь­ни­ка MPQ, про­ведённая из точки M, Имеем: от­ку­да

Далее:

Окон­ча­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: 10.

Ре­ше­ние. Пусть каж­дый месяц сумма вкла­да уве­ли­чи­ва­ет­ся на k про­цен­тов, а Тогда через шесть ме­ся­цев сумма вкла­да будет равна а через две­на­дцать ме­ся­цев  — Спра­вед­ли­вы сле­ду­ю­щие ра­вен­ства:

Вы­ра­зим a из вто­ро­го ра­вен­ства:

под­ста­вим зна­че­ние K⁶ из пер­во­го ра­вен­ства:

Ответ: 10,25.

При­ведём ре­ше­ние Ва­лен­ти­на Ев­ста­фье­ва (Санкт-⁠Пе­тер­бург).

За пер­вые 6 ме­ся­цев на на­чаль­ную сумму 10 тыс. руб. была на­чис­ле­на при­быль 500 руб. По­сколь­ку про­цент за месяц по­сто­я­нен, то и за вто­рые 6 ме­ся­цев на эту на­чаль­ную сумму была на­чис­ле­на такая же при­быль. А на при­быль пер­во­го по­лу­го­дия, рав­ную 500 руб., была на­чис­ле­на при­быль 25 руб. (по­сколь­ку 500 руб. в 20 раз мень­ше 10 тыс. руб., то и при­быль от 500 руб. в 20 раз мень­ше при­бы­ли от 10 тыс. руб.). Таким об­ра­зом, общая при­быль за год была равна 500 + 500 + 25  =  1025 руб., что со­став­ля­ет 10,25% от вло­жен­ной суммы.

Ре­ше­ние. При­рав­ня­ем пра­вые части урав­не­ний ис­ход­ной си­сте­мы:

По­лу­чен­ное урав­не­ние яв­ля­ет­ся квад­рат­ным от­но­си­тель­но пе­ре­мен­ной x. Най­дем одну чет­вер­тую дис­кри­ми­нан­та:

Дис­кри­ми­нант не­от­ри­ца­те­лен толь­ко при а зна­чит, един­ствен­ным кор­нем урав­не­ния яв­ля­ет­ся Тогда ис­ход­ная си­сте­ма или имеет един­ствен­ное ре­ше­ние или не имеет ре­ше­ний.

Из пер­во­го урав­не­ния ис­ход­ной си­сте­мы найдём зна­че­ние a, при ко­то­ром у си­сте­мы есть ре­ше­ние:

Ответ:

Ре­ше­ние. Если те­ле­фон стоил N тыс. руб., то его новая цена будет тыс. руб., а скид­ка со­ста­вит тыс. руб.

а)  Да, на­при­мер, если про­да­вал­ся один те­ле­фон, ко­то­рый стоил 10 тыс. руб.

б)  До­пу­стим, были те­ле­фон со сто­и­мо­стью 20 000 руб. (скид­ка 4000 руб.) и два те­ле­фо­на со сто­и­мо­стью 10 000 руб. (скид­ка 1000 руб.). В сред­нем будет как раз 2000 руб.

в)  Если со скид­кой про­да­ет­ся один те­ле­фон ценой A тыс. руб., то долж­но быть то есть что не­воз­мож­но.

Если про­да­ют­ся два те­ле­фо­на с це­на­ми A и B тыс. руб., то долж­но быть

но это не­воз­мож­но. Дей­стви­тель­но, по­сколь­ку числа и дают остат­ки 0 или 1 от де­ле­ния на 3, и их сумма де­лит­ся на 3, то оба этих числа де­лят­ся на 3. Но если квад­ра­ты де­лят­ся на 3, то они де­лят­ся и на 9, а 600 на 9 не де­лит­ся.

Если же взять три те­ле­фо­на с це­на­ми 28, 4 и 10 тыс. руб., то сред­няя скид­ка со­ста­вит

Ответ: а) да; б) да; в) 3.

----------

Дуб­ли­ру­ет за­да­ние 527618 из тре­ни­ро­воч­но­го ва­ри­ан­та А. Ла­ри­на № 277.