PDF-версии: 1. Тип 13 № 528517 
Классификатор алгебры: Показательные уравнения
Методы алгебры: Введение замены
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.5 Показательные уравнения
Уравнения. Показательные уравнения
i
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. a) Сделаем замену переменной: 
тогда 
и
Вернёмся к исходной переменной:
б) Заметим, что 
при этом 
Поэтому в заданном отрезке лежат корни 
Ответ: а) 
б) 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 528517
а) б)
б) Классификатор алгебры: Показательные уравнения
Методы алгебры: Введение замены
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.5 Показательные уравнения
Пусть M — точка пересечения BD1 с высотой пирамиды, тогда M — точка пересечения медиан треугольника SBD, значит, 
Но O — середина SO1, следовательно,
и треугольник PSQ — равносторонний. 
тогда PN — медиана (и биссектриса) треугольника PSQ и N — середина 
— средняя линия треугольника 
значит, 
тогда точки L и K — точки сечения пирамиды OABCD плоскостью BCA1. 
и 
тоже подобны по двум углам. Тогда 
— линейный угол двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания. 
Тогда, 
через площадь прямоугольника ABCD и вычислим её:
решим неравенство 
Используя свойство логарифма 
перейдём к основанию 2, получим:
поэтому 
Обозначим этот угол 
Тогда и 
а 
треугольник BMN равнобедренный и 
Значит, BNAC — параллелограмм (его диагонали делятся пополам точкой пересечения), поэтому 
Тогда производительность четвёртого процессора по сравнению с третьим увеличится на 3,2L% и составит
млн операций в секунду. Для четвёртого процессора имеем 
что противоречит условию задачи. Тем самым, первый случай невозможен.
млн операций в секунду,
млн операций в секунду.
При найденных значениях k и l 
выполняется. 
тогда неравенство примет вид
в координатах 
и отметим (см. рис.), что если 
то каждому значению переменной t соответствуют ровно два значения переменной x, значению 
соответствуют ровно одно значение x, значениям 
не соответствуют никакие значения переменной x.
неравенство не имеет решений; при 
решением является луч 
при 
решений нет при 
решением является полуинтервал 
и не должно иметь решений 
при 
Значит, исходное неравенство имеет ровно одно решение только при 
исходное неравенство имеет бесконечно много решений (на рисунке выделено красным), а при 
или 
исходное неравенство решений не имеет.
тогда неравенство примет вид:
Рассмотрим два случая.
Функция 
— возрастающая, как произведение двух неотрицательных возрастающих функций. Следовательно,неравенство (*) равносильно 
т. е. 
Тогда
если 
т. е. 
второе неравенство выполняется для всех x. Следовательно, 
Тогда 
и неравенство (*) можно записать в виде
— возрастающая, как произведение двух неотрицательных возрастающих функций. Следовательно, неравенство (**) равносильно 
т. е. 
Тогда
чисел. (Читатель, знакомый с комбинаторикой, мог бы предпочесть прямому подсчету использование формулы для сочетаний с повторениями 
— количество способов распределить n одинаковых предметов между k ящиками. В нашем случае нужно распределить семь нулей между тремя местами ... 1 ... 00000001 ... . Получаем 
)
числа. Теперь ответим на вопросы задания: а) да, можно записать 30 чисел; в) можно записать 53 различных числа. 
чисел. С использованием двух единиц, аналогично предыдущему, прямым подсчетом находим 6 возможностей (или: распределяем два нуля между тремя местами ... 1 ... 0000000100000 ... , получаем 
чисел. Всего можно получить 
чисел. Таким образом, ответ на пункт б) таков: нет, нельзя записать 30 чисел.