PDF-версии: 1. Тип Д8 C1 № 527597 
Классификатор алгебры: Равенство тригонометрических функций
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения
i
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. Поскольку 
уравнение может выполняться только если 
Второе возможно только при 
то есть 
Тогда 
Это равно 
только при четных k. Окончательно имеем 
б) С помощью тригонометрического круга отберем корни. На указанном промежутке лежит 
Ответ: а) 
б) 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 527597
а) б)
б) Классификатор алгебры: Равенство тригонометрических функций
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
проведена секущая плоскость, содержащая диагональ 
и пересекающая ребра 
и 
в точках F и E соответственно. Известно, что 
— ромб и 
получим
найдем 
Тогда в прямоугольной трапеции FBDE имеем 
б) 
и 
то есть 
При этих условиях 
определен и положителен, то есть не влияет на знак. Остальное можно рационализировать:
касается сторон AC и BC треугольника ABC в точках K и P и пересекает строну AB в точках M и N (точка N между точками B и M). Известно, что MP и AC параллельны, 
как отрезки касательных, проведенных из одной точки. Тогда в прямоугольном треугольнике COP имеем 
откуда 
и 
Кроме того, уравнение прямой CP это 
то есть 
Значит, координаты точки P имеют вид 
при этом 
Значит, 
откуда 
(
не подходит, поскольку не лежит на нужном луче).
Найдем уравнение прямой AM. Оно имеет вид 
от точки O. Пусть ее координата по y равна t, тогда координата по x равна 
и расстояние до O получается:
(y — координата точки M), поэтому другой — 
Значит, 
Тогда 
и вычислим расстояние от K до этой прямой: ##
б) 
По условию,
откуда 
Тогда первое уравнение примет вид 
откуда 
Значит, сейчас доля первого составляет 
Если он хочет иметь долю 99%, его сумма денег должна быть 
то есть ему нужно внести еще 36 миллионов.
имеет хотя бы одно решение.
Тогда задача сводится к поиску наименьшего значения выражения 
на интервале 
Возьмем производную:
и положительна при 
Значит, наименьшее значение функция принимает при 
и равно оно 
где p и q — взятые в выбранном Ваней порядке два числа, написанные к началу этого хода на доске, и, если это уравнение имеет два различных натуральных корня, заменить два числа на доске на эти корни. Если же это уравнение не имеет двух различных натуральных корней, Ваня не может сделать ход и игра прекращается.
получится пара 
а из нее пара 
Попробуем прокрутить процесс в обратную сторону.
то до нее были пары 
Поскольку 
на этом обратный ход заканчивается. Итак, может быть сделано 4 хода.
то 
Поэтому при любой другой начальной паре все числа, получаемые обратным ходом, будут не меньше тех, которые входят в нашу цепочку. Значит, и для них не получится сделать более 4 ходов.