Ре­ше­ние. До­пу­стим, что на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном в пер­вом го­ро­де, ра­бо­чие тру­дят­ся x² часов, а на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, y² часов. Тогда в не­де­лю будет про­из­ве­де­но 2x + 5y еди­ниц то­ва­ра, а за­тра­ты на опла­ту труда со­ста­вят 500(x² + y²) руб­лей. В этом слу­чае нужно найти наи­мень­шее зна­че­ние 500(x² + y²) при усло­вии 2x + 5y =580. Вы­ра­зим y через x:

при 0 ≤ x ≤ 290. После пре­об­ра­зо­ва­ния по­лу­ча­ем:

Наи­мень­шее зна­че­ние квад­рат­но­го трёхчле­на до­сти­га­ет­ся при

причём При этом зна­че­нии по­лу­ча­ем:

Ответ: 5 800 000.

Ре­ше­ние. Тре­бу­ет­ся найти мак­си­мум суммы при усло­вии или По­сколь­ку имеем урав­не­ние от­ку­да По­лу­чен­ное урав­не­ние имеет ре­ше­ния, если не­от­ри­ца­те­лен его дис­кри­ми­нант, а зна­чит, и чет­верть дис­кри­ми­нан­та: Тем самым, наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние равно 500.

----------

Дуб­ли­ру­ет за­да­ние 509205.

Ре­ше­ние. Пусть на­чаль­ная сумма кре­ди­та равна S₀, тогда пе­ре­пла­та за пер­вый месяц равна По усло­вию, еже­ме­сяч­ный долг перед бан­ком дол­жен умень­шить­ся рав­но­мер­но. Этот долг со­сто­ит из двух ча­стей: по­сто­ян­ной еже­ме­сяч­ной вы­пла­ты, рав­ной и еже­ме­сяч­ной рав­но­мер­но умень­ша­ю­щей­ся вы­пла­ты про­цен­тов, рав­ной

Ис­поль­зуя фор­му­лу суммы чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии, найдём пол­ную пе­ре­пла­ту по кре­ди­ту:

По усло­вию общая сумма вы­плат на 30% боль­ше суммы, взя­той в кре­дит, тогда:

Ответ: 3.

При­ме­ча­ние Дмит­рия Гу­щи­на.

Ука­жем общие фор­му­лы для ре­ше­ния задач этого типа. Пусть на n пла­теж­ных пе­ри­о­дов (дней, ме­ся­цев, лет) в кре­дит взята сумма S, причём каж­дый пла­теж­ный пе­ри­од долг сна­ча­ла воз­растёт на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го пла­теж­но­го пе­ри­о­да, а затем вно­сит­ся опла­та так, что долг ста­но­вит­ся на одну и ту же сумму мень­ше долга на конец преды­ду­ще­го пла­теж­но­го пе­ри­о­да. Тогда ве­ли­чи­на пе­ре­пла­ты П и пол­ная ве­ли­чи­на вы­плат В за всё время вы­пла­ты кре­ди­та да­ют­ся фор­му­ла­ми

В усло­ви­ях нашей за­да­чи по­лу­ча­ем от­ку­да для n  =  19 на­хо­дим r  =  3.

До­ка­за­тель­ство фор­мул (для по­лу­че­ния пол­но­го балла его нужно при­во­дить на эк­за­ме­не) не­мед­лен­но сле­ду­ет из вы­ше­при­ведённого ре­ше­ния за­да­чи путём за­ме­ны 19 ме­ся­цев на n ме­ся­цев и ис­поль­зо­ва­нии фор­му­лы суммы n пер­вых чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии.

Ре­ше­ние. Пусть сумма кре­ди­та равна S. По усло­вию, долг перед бан­ком по со­сто­я­нию на 15-е число дол­жен умень­шить­ся до нуля рав­но­мер­но:

Пер­во­го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на r%. Пусть тогда по­сле­до­ва­тель­ность раз­ме­ров долга на 1-ое число каж­до­го ме­ся­ца та­ко­ва:

Сле­до­ва­тель­но, вы­пла­ты долж­ны быть сле­ду­ю­щи­ми:

Всего сле­ду­ет вы­пла­тить

Общая сумма вы­плат на 20% боль­ше суммы, взя­той в кре­дит, по­это­му

Ответ: 1.