Ре­ше­ние. По опре­де­ле­нию си­ну­са по­лу­ча­ем:

Ответ: 16,5.

Ре­ше­ние. Объем дан­но­го мно­го­гран­ни­ка равен сумме объ­е­мов па­рал­ле­ле­пи­пе­дов с реб­ра­ми 2, 5, 2 и 4, 5, 3:

Ответ: 80.

Ре­ше­ние. Ко­ли­че­ство ис­хо­дов, при ко­то­рых в ре­зуль­та­те брос­ка иг­раль­ных ко­стей вы­па­дет 10 очков, равно 3: 4+6, 5+5, 6+4. Каж­дый из ку­би­ков может вы­пасть ше­стью ва­ри­ан­та­ми, по­это­му общее число ис­хо­дов равно 6·6  =  36. Сле­до­ва­тель­но, ве­ро­ят­ность того, что в сумме вы­па­дет 10 очков, равна

Ре­ше­ние. По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: 0.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку имеем:

Ответ: 30.

Ре­ше­ние. Функ­ция не­пре­рыв­на и по­ло­жи­тель­на на от­рез­ке от 7 до 10, по­это­му пло­щадь за­кра­шен­ной фи­гу­ры в дан­ном слу­ча­ем можно вы­чис­лить по фор­му­ле: где b и a  — это со­от­вет­ствен­но ко­ор­ди­на­ты пра­во­го и ле­во­го кон­цов от­рез­ка. Вы­чис­лим:

Ответ: 2,7.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Най­дем фор­му­лу, за­да­ю­щую функ­цию гра­фик ко­то­рой изоб­ражён на ри­сун­ке.

Сле­до­ва­тель­но, гра­фик функ­ции по­лу­чен сдви­гом гра­фи­ка функ­ции на еди­ниц впра­во вдоль оси абс­цисс. По­это­му ис­ко­мая пло­щадь фи­гу­ры равна пло­ща­ди фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной гра­фи­ком функ­ции и от­рез­ком оси абс­цисс. Имеем:

Ре­ше­ние. Най­дем, за какое время, про­шед­шее от мо­мен­та на­ча­ла тор­мо­же­ния, ав­то­мо­биль про­едет 77 мет­ров:

Зна­чит, через 7 се­кунд после на­ча­ла тор­мо­же­ния ав­то­мо­биль про­едет 77 мет­ров.

Ответ: 7.

Ре­ше­ние. Наи­мень­шее общее крат­ное чисел 9, 14 и 18 равно 126. За 126 минут пер­вый и вто­рой, вто­рой и тре­тий, пер­вый и тре­тий на­со­сы (каж­дый учтен два­жды) за­пол­нят 14 + 9 + 7  =  30 бас­сей­нов. Сле­до­ва­тель­но, ра­бо­тая од­но­вре­мен­но, пер­вый, вто­рой и тре­тий на­со­сы за­пол­ня­ют 15 бас­сей­нов за 126 минут, а зна­чит, 1 бас­сейн за 8,4 ми­ну­ты.

Ответ: 8,4.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

За одну ми­ну­ту пер­вый и вто­рой на­со­сы за­пол­нят 1/9 бас­сей­на, вто­рой и тре­тий  — 1/14 бас­сей­на, а пер­вый и тре­тий  — 1/18 бас­сей­на. Ра­бо­тая вме­сте, за одну ми­ну­ту два пер­вых, два вто­рых и два тре­тьих на­со­са за­пол­нят

Тем самым, они могли бы за­пол­нить бас­сейн за 21/5 ми­ну­ты или за 4,2 ми­ну­ты. По­сколь­ку каж­дый из на­со­сов был учтен два раза, в ре­аль­но­сти пер­вый, вто­рой и тре­тий на­со­сы, ра­бо­тая вме­сте, могут за­пол­нить бас­сейн за 8,4 ми­ну­ты.

При­ве­дем ал­геб­ра­и­че­ское ре­ше­ние Ти­му­ра Али­е­ва.

Пусть x  — про­из­во­ди­тель­ность пер­во­го на­со­са, y  — про­из­во­ди­тель­ность вто­ро­го на­со­са, z  — про­из­во­ди­тель­ность тре­тье­го на­со­са. Тогда

Сло­жив урав­не­ния, по­лу­чим

Тогда при сов­мест­ной ра­бо­те всех трех на­со­сов время за­пол­не­ния бас­сей­на со­ста­вит ми­ну­ты.

Ре­ше­ние. Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке:

На от­рез­ке функ­ция до­сти­га­ет наи­боль­ше­го зна­че­ния в точке мак­си­му­ма. Най­дем его:

Ответ: 81.

Ре­ше­ние. Левая часть урав­не­ния имеет смысл при

Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

По­сколь­ку по­лу­ча­ем:

Учи­ты­вая, что на­хо­дим:

Ответ:

Ре­ше­ние. Ис­поль­зуя фор­му­лу пе­ре­хо­да к но­во­му ос­но­ва­нию, пе­рей­дем к де­ся­тич­ным ло­га­риф­мам и при­ме­ним метод ра­ци­о­на­ли­за­ции:

Ответ:

Ре­ше­ние. Из диа­грам­мы видно, что от на­ча­ла года до ок­тяб­ря вклю­чи­тель­но, было 8 ме­ся­цев, когда сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра пре­вы­ша­ла −5 гра­ду­сов Цель­сия (см. рис.).

Ответ: 8.

Ре­ше­ние. В сен­тяб­ре кар­то­фель по­до­ро­жал на 20 · 0,25  =  5 руб­лей и стал сто­ить 20 + 5  =  25 руб­лей. В но­яб­ре кар­то­фель по­до­ро­жал на 25 · 0,2  =  5 руб­лей. Зна­чит, после по­до­ро­жа­ния в но­яб­ре 1 кг кар­то­фе­ля стоил 25 + 5  =  30 руб­лей.

Ответ: 30.

Ре­ше­ние. Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию ос­но­ва­ния на вы­со­ту, про­ве­ден­ную к этому ос­но­ва­нию или его про­дол­же­нию. По­это­му

Ответ: 8.