Ре­ше­ние. Пло­щадь ромба равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния длин его диа­го­на­лей. Пусть мень­шая из диа­го­на­лей равна a, тогда боль­шая равна 6a. Сле­до­ва­тель­но, от­ку­да

Ответ: 17.

Ре­ше­ние. Се­че­ние пе­ре­се­ка­ет па­рал­лель­ные грани по па­рал­лель­ным от­рез­кам. По­это­му се­че­ние ABC₁D₁  —  па­рал­ле­ло­грамм. Кроме того, ребро D₁C₁ пер­пен­ди­ку­ляр­но гра­ням BB₁C₁C и AA₁D₁D. По­это­му углы AD₁C₁ и D₁C₁B  — пря­мые. По­это­му се­че­ние ABC₁D₁  — пря­мо­уголь­ник.

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AA₁D₁ най­дем AD₁:

Тогда пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка ABC₁D₁ равна:

Ответ: 287.

Ре­ше­ние. Всего спортс­ме­нов 25, по­это­му ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна 4 : 25  =  0,16.

Ре­ше­ние. Пе­рей­дем к од­но­му ос­но­ва­нию сте­пе­ни:

Ответ: 8,5.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что Тогда

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. На за­дан­ном от­рез­ке про­из­вод­ная функ­ции по­ло­жи­тель­на, по­это­му функ­ция на этом от­рез­ке воз­рас­та­ет. По­это­му наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся в точке −5.

Ответ: −5.

Ре­ше­ние. За­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию наи­боль­ше­го ре­ше­ния не­ра­вен­ства при за­дан­ных зна­че­ни­ях па­ра­мет­ров  и :

Учи­ты­вая то, что время  — не­от­ри­ца­тель­ная ве­ли­чи­на, по­лу­ча­ем Угол на­мот­ки до­стиг­нет зна­че­ния 4050° при t  =  30 мин.

Ответ: 30.

Ре­ше­ние. Пусть u км/ч  — ско­рость те­че­ния, тогда ско­рость теп­ло­хо­да по те­че­нию равна км/ч, а ско­рость теп­ло­хо­да про­тив те­че­ния равна км/ч. На весь путь теп­ло­ход за­тра­тил 40 − 6  =  34 часов, от­сю­да имеем:

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что Об­ласть опре­де­ле­ния функ­ции  — от­кры­тый луч Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Най­ден­ная точка лежит на луче Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка мак­си­му­ма

Ответ: −6.

Ре­ше­ние. а)  Пусть тогда ис­ход­ное урав­не­ние за­пи­шет­ся в виде

При по­лу­чим: 

При по­лу­чим: 

б)  С по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти отберём корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку По­лу­чим числа:

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. Най­дем ОДЗ:

Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство при этих огра­ни­че­ни­ях:

При­ме­ним метод ра­ци­о­на­ли­за­ции: на ОДЗ знак вы­ра­же­ния сов­па­да­ет со зна­ком вы­ра­же­ния а знак вы­ра­же­ния вида сов­па­да­ет со зна­ком вы­ра­же­ния По­лу­чим:

Ответ:

Ре­ше­ние. Из диа­грам­мы видно, что Чили за­ни­ма­ло 9 место.

Ответ: 9.

Ре­ше­ние. Раз­де­лим 83 на 4:

Зна­чит, для по­се­ле­ния 83 ино­го­род­них сту­ден­тов не­об­хо­ди­ма 21 ком­на­та.

Ответ: 21.

Ре­ше­ние. Про­ве­дем вы­со­ту BK из точки B на сто­ро­ну OA. Тогда, при­ни­мая во вни­ма­ние, что по­лу­чим:

Ответ: 3.