В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH. Из точки H на стороны AB и BC отпустили перпендикуляры HK и HM соответственно.
а) Докажите, что треугольник MBK подобен треугольнику ABC.
б) Найдите отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC, если BH = 3, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 2.
а) В четырёхугольнике KBMH углы K и M — прямые, следовательно, около этого четырёхугольника можно описать окружность, причём BH — её диаметр. Вписанные углы BKM и BHM опираются на одну дугу, следовательно,
∠BKM = ∠BHM = 90° − ∠HBM = ∠BCA.
Треугольники MBK и ABC имеют общий угол B, а ∠BKM = ∠BCA. Значит, эти треугольники подобны.
б) Заметим, что BH — диаметр окружности, описанной около треугольника MBK. Радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 2, значит, треугольники MBK и ABC подобны с коэффициентом подобия 
Получаем, что
Следовательно, искомое отношение равно
Ответ: 