В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH, из точки H на стороны AB и BC опустили перпендикуляры HK и HM соответственно.
а) Докажите, что треугольник MBK подобен треугольнику ABC.
б) Найдите отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC, если BH = 2, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC равен 9.
а) Пусть угол
Углы BAC и KHB равны, как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Рассмотрим четырёхугольник BKHM
следовательно, четырёхугольник BKHM вписан в окружность. Значит, углы KHB и KMB — вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу, следовательно, они равны. Таким образом, 
Треугольники ABC и MBK имеют общий угол B и 
значит, эти треугольники подобны по двум углам.
б) Из прямоугольного треугольника BKH находим, что 
Для треугольника ABC справедливо равенство 
Учитывая, что 
получаем: 
Стороны BC и BK — сходственные в подобных треугольниках ABC и MBK, следовательно, их коэффициент подобия 
Найдём отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника 
Ответ: 
Существует ли остроугольный треугольник с высотой 2 и радиусом описанной окружности 9?
Существует. Достаточно взять окружность радиуса 9, отметить на ней хорду АС, отсекающую дугу
и выбрать на другой дуге этой окружности точку В на расстоянии 2 от АС.