а)  Пусть угол BAC  =  α. Углы BAC и KHB равны как углы с вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми сто­ро­на­ми. Рас­смот­рим четырёхуголь­ник BKHM: в нем ∠BKH + ∠BMH  =  90° + 90°  =  180°, сле­до­ва­тель­но, четырёхуголь­ник BKHM впи­сан в окруж­ность. Зна­чит, углы KHB и KMB  — впи­сан­ные, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну и ту же дугу, сле­до­ва­тель­но, они равны. Таким об­ра­зом, ∠BAC = ∠KHB = ∠KMB. Тре­уголь­ни­ки ABC и MBK имеют общий угол B, а ∠BAC = ∠KMB, зна­чит, эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по двум углам.

б)  Сумма углов К и М че­ты­рех­уголь­ни­ка BKHM равна 180°, по­это­му он впи­сан в окруж­ность. Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник BKH впи­сан в эту же окруж­ность, а по­то­му ра­ди­ус R окруж­но­сти равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы BH: R  =  1. Тре­уголь­ник MBK также впи­сан в эту окруж­ность. Ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия тре­уголь­ни­ков ABC и MBK равен от­но­ше­нию их сход­ствен­ных эле­мен­тов, по­это­му он равен Тогда для от­но­ше­ния пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка MBK к пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка AKMC по­лу­ча­ем:

Ответ:

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние пунк­та б).

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка BKH на­хо­дим, что Для тре­уголь­ни­ка ABC спра­вед­ли­во ра­вен­ство Учи­ты­вая, что ∠KHB = ∠BAC, по­лу­ча­ем: Сто­ро­ны BC и BK  — сход­ствен­ные в по­доб­ных тре­уголь­ни­ках ABC и MBK, сле­до­ва­тель­но, их ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия Найдём от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка MBK к пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка AKMC:

а)  Пусть угол Углы BAC и KHB равны, как углы с вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми сто­ро­на­ми. Рас­смот­рим четырёхуголь­ник BKHM

сле­до­ва­тель­но, четырёхуголь­ник BKHM впи­сан в окруж­ность. Зна­чит, углы KHB и KMB  — впи­сан­ные, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну и ту же дугу, сле­до­ва­тель­но, они равны. Таким об­ра­зом, Тре­уголь­ни­ки ABC и MBK имеют общий угол B и зна­чит, эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по двум углам.

б)  Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка BKH на­хо­дим, что Для тре­уголь­ни­ка ABC спра­вед­ли­во ра­вен­ство Учи­ты­вая, что по­лу­ча­ем: Сто­ро­ны BC и BK  — сход­ствен­ные в по­доб­ных тре­уголь­ни­ках ABC и MBK, сле­до­ва­тель­но, их ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия Найдём от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка MBK к пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка

Ответ:

а)  В четырёхуголь­ни­ке KBMH углы K и M  — пря­мые, сле­до­ва­тель­но, около этого четырёхуголь­ни­ка можно опи­сать окруж­ность, причём BH  — её диа­метр. Впи­сан­ные углы BKM и BHM опи­ра­ют­ся на одну дугу, сле­до­ва­тель­но,

Тре­уголь­ни­ки MBK и ABC имеют общий угол B, а ∠BKM = ∠BCA. Зна­чит, эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны.

б)  За­ме­тим, что BH  — диа­метр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка MBK. Ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC, равен 2, зна­чит, тре­уголь­ни­ки MBK и ABC по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия По­лу­ча­ем, что

Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мое от­но­ше­ние равно

Ответ:

а)  Пусть угол BAC  =  α. Углы BAC и KHB равны, как углы с вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми сто­ро­на­ми. Рас­смот­рим четырёхуголь­ник BKHM: ∠BKH + ∠BMH  =  90° + 90°  =  180°, сле­до­ва­тель­но, четырёхуголь­ник BKHM впи­сан в окруж­ность. Зна­чит, как впи­сан­ные, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну и ту же дугу. Таким об­ра­зом, ∠BAC = ∠KHB = ∠KMB. Тре­уголь­ни­ки ABC и MBK имеют общий угол B и ∠BAC = ∠KMB, зна­чит, эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по двум углам.

б)  Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка BKH на­хо­дим, что Для тре­уголь­ни­ка ABC спра­вед­ли­во ра­вен­ство Учи­ты­вая, что по­лу­ча­ем: Сто­ро­ны BC и BK  — сход­ствен­ные в по­доб­ных тре­уголь­ни­ках ABC и MBK, сле­до­ва­тель­но, их ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия Найдём от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка MBK к пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка AKMC:

Ответ: