РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

а)  Приведите пример такого натурального числа n, что числа $n в квадрате$ и $левая круглая скобка n плюс 24 правая круглая скобка в квадрате$ дают одинаковый остаток при делении на 100.

б)  Сколько существует трёхзначных чисел n с указанным в пункте а свойством?

в)  Сколько существует двузначных чисел m, для каждого из которых существует ровно 36 трёхзначных чисел n, таких, что $n в квадрате$ и $левая круглая скобка n плюс m правая круглая скобка в квадрате$ дают одинаковый остаток при делении на 100.

Решение. а)  Например годится $38 в квадрате =1444,$ поскольку $62 в квадрате =3844.$

б)  Для этого нужно, чтобы

$левая круглая скобка n плюс 24 правая круглая скобка в квадрате минус n в квадрате =576 плюс 48n$

делилось на 100. На 4 оно точно делится, а для делимости на 25 нужно, чтобы

$576 плюс 48n минус 550 минус 50n=26 минус 2n=2 левая круглая скобка 13 минус n правая круглая скобка$

делилось на 25. Это возможно в том и только том случае, когда n дает остаток 13 при делении на 25. Таких чисел среди любых 25 чисел подряд ровно одно, поэтому среди всех 900 трехзначных чисел их ровно 36.

в)  Нужно, чтобы

$левая круглая скобка n плюс m правая круглая скобка в квадрате минус n в квадрате =m левая круглая скобка 2n плюс m правая круглая скобка$

делилось на 100 ровно для 36 чисел. Разберем случаи, чему может быть равен наибольший общий делитель m и 100.

Если 1, то второй множитель должен быть кратен 100, при этом остатки от деления на 100 повторяются группой по 50 (то есть для $n=1,51,101,\ldots$ остатки одинаковые, но до этого повторений не будет). Значит, нужных нам случаев среди 900 трехзначных чисел либо 0, либо 18.

Если 2, то второй множитель должен быть кратен 50, при этом остатки от деления его на 50 повторяются группой по 25. Значит, нужных нам случаев среди 900 трехзначных чисел либо 0, либо 36. На самом деле поскольку m четно, то подходящее n точно есть, поэтому их 36. Итак, подходят все четные числа, не кратные 4 или 5.

Если 4, то второй множитель должен быть кратен 25, при этом остатки от деления его на 25 повторяются группой по 25. Значит, нужных нам случаев среди 900 трехзначных чисел либо 0, либо 36. На самом деле их всегда 36, потому что среди чисел 2, 4, 6, ... 24, 26, 28, ... 50 попадаются все возможные остатки от деления на 25. Поэтому иногда делимость на 25 будет.

Если 5 или больше, то второй множитель должен делиться на какое-то конкретное число, не превосходящее 20. Остатки от деления на такое число зацикливаются не более чем за 20 чисел, поэтому будет либо ни одного подходящего остатка, либо сразу минимум $дробь: числитель: 900, знаменатель: 20 конец дроби =45.$

Итак, годятся четные числа, не кратные 5. В каждом десятке таких 4, Значит, всего их $4\times 9=36.$

Ответ: а) 38; б) 36; в) 36.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ключ