PDF-версии: 
Найдите все значения a, при которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Решение.
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
имеет ровно два решения.
Пусть 
тогда исходное уравнение принимает вид:
Значит, решение исходного уравнения — это решение уравнений 
или 
Исследуем сколько решений имеет уравнение 
в зависимости от a и 
Заметим, что слева стоит сумма модулей, то есть при 
решений нет. Запишем уравнение в виде 
График левой части этого уравнения — график модуля с вершиной в точке 
график правой части — график модуля, отражённый относительно 
Это уравнение будет иметь два решения, если одновременно прямая 
лежит правее (выше) прямой 
и прямая 
лежит левее (выше) прямой 
Это достигается условиями 
и 
Таким образом, уравнение совокупности имеет два решения при условии:
Если вершина 
находится внутри части плоскости отсекаемой графиком 
то уравнение имеет два решения, если прямые и совпадают или прямые 
и совпадают, то уравнение имеет бесконечно много решений, если вершина 
совпадает с точкой то уравнение имеет одно решение.
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два решения, если одно из уравнений совокупности имеет два решения, а второе не имеет решений, либо если каждое из уравнений совокупности имеет два решения, но эти решения совпадают. Разберём каждый из этих случаев.
Первый случай. При 
или 
или уравнение совокупности решений не имеет. Таким образом, исходное уравнение имеет два решения, если первое уравнение имеет два решения, а второе — не имеет, либо наоборот. В случае, когда первое уравнение верно, система условий имеет вид:
В случае, когда второе уравнение верно, система условий имеет вид:
Второй случай. Решения совпадут, если совпадают уравнения, то есть, если 
откуда 
При данном значении a оба уравнения принимают вид:
Данное уравнение не имеет решений.
То есть исходное уравнение не имеет решений при a равном 
Таким образом, уравнение имеет ровно два решения при 
Ответ: 
Приведём другое решение.
Пусть тогда исходное уравнение принимает вид:
Прямые 
и 
(изображены синим пунктиром) разбивают плоскость xOa на четыре части, в каждой из которых модули снимаются одинаково.
I случай: 
и 
Получаем
II случай: и 
Тогда
III случай: 
и Совокупность принимает вид
IV случай: и Получаем
Графиком совокупности (⁎) являются две ломаные (изображены оранжевым).
Значит, при 
или 
исходное уравнение имеет два решения, при 
или 
исходное уравнение имеет бесконечное число решений, при 
исходное уравнение не имеет решений.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
