PDF-версии: 
В прямоугольном треугольнике АВС проведена высота СН из вершины прямого угла, АМ и СN — биссектрисы треугольников ACH и ВСН соответственно.
а) Докажите, что прямые АМ и СN перпендикулярны.
б) Найдите длину отрезка МN, если ВС = 21 и 
Решение. а) Продолжим биссектрису AM до пересечения со стороной CB в точке K. Пусть
тогда 
По свойству прямоугольного треугольника 
Треугольник CHB прямоугольный, 
тогда 
Так как 
в треугольнике ACK имеем 
тогда прямые AM и CN перпендикулярны.
б) В треугольнике ACN отрезок AK является биссектрисой и высотой, поэтому треугольник ACN — равнобедренный, 
Таким образом, прямая AK является серединным перпендикуляром к стороне CN, а значит, 
Аналогично: отрезок CK — биссектриса и высота в треугольнике MCT, следовательно, треугольник является равнобедренным и 
Воспользуемся свойством биссектрисы для треугольника ABC:
Таким образом, 
Получаем 
Ответ: б) 6.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |