PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Решение. Введем замену 
тогда
Дискриминант полученного уравнения равен 
Уравнение имеет два решения при 
что верно при всех t.
Пользуясь введенной заменой, запишем исходное уравнение в виде
Чтобы исходное уравнение имело два корня, полученное квадратное уравнение должно иметь единственное решение. Это возможно в двух случаях: если уравнение (⁎) является линейным уравнением или если оно является квадратным уравнением, имеющим единственное решение.
При a = 0 полученное уравнение является линейным и принимает вид 
откуда 
Найденному значению t соответствуют два корня исходного уравнения.
При a ≠ 0 уравнение является квадратным, его дискриминант равен
Уравнение имеет единственное решение, когда дискриминант равен нулю. Находим:
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных корня при 
и при 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |