PDF-версии: 
В четырёхугольник KLMN вписана окружность с центром O. Эта окружность касается стороны MN в точке A. Известно, что 
а) Докажите, что точка А лежит на прямой LO.
б) Найдите длину стороны МN, если LA = 1.
Решение. а) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому угол OLM равен 60°, а угол LOH, где точка H — точка касания со стороной LM, равен 30°. Выразим угол HOA:
откуда 
Следовательно, точки L, O, A лежат на одной прямой.
б) Точка O лежит на биссектрисах углов KNA и HMA, а потому угол NOA равен 45° и угол MOA равен 75°. Пусть OA = x, тогда
откуда 
Таким образом, длина стороны MN равна
Ответ: б) 
Приведём другое решение.
а) Центр вписанной в многоугольник окружности — точка пересечения биссектрис. Значит, отрезок LO — часть биссектрисы. Продлим отрезок LO до пересечения с прямой MN в точке Е. Угол KLE равен 60° как половина угла KLM. Угол NKL равен 120° по условию. Сумма односторонних углов при пересечении прямых KN и LO секущей KL равна 180°, значит, прямые KN и LO параллельны. Тогда прямая LO перпендикулярна прямой NM. Отрезок OA — радиус, проведённый в точку касания, значит, прямая OA перпендикулярна прямой NM. Но через точку O можно провести только одну прямую, перпендикулярную прямой MN. Значит, точки E и A совпадают, и точка А принадлежит прямой LO.
б) По условию LA = 1, тогда в прямоугольном треугольнике LAM с углом 60° находим: LM = 2, 
В прямоугольной трапеции KLAN проведём высоту KP. Пусть
тогда 
По свойству описанного четырёхугольника 
тогда
Значит,
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |