Ре­ше­ние. Пусть a юно­шей от­пра­ви­ли по 5 писем и b юно­шей от­пра­ви­ли по 16 писем. Тогда ко­ли­че­ство де­ву­шек a + b, ко­ли­че­ство от­прав­лен­ных писем 5a + 16b.

а)  Спра­ши­ва­ет­ся, имеет ли урав­не­ние ре­ше­ние. За­пи­шем его в виде 2a  =  9b. Ясно, что числа a  =  9 и b  =  2 яв­ля­ют­ся одним из ре­ше­ний. То есть если 9 юно­шей от­пра­ви­ли по 5 писем и двое юно­шей от­пра­ви­ли по 16 писем, то всего они от­пра­ви­ли 77 писем, ко­то­рые можно рас­пре­де­лить между 11 де­вуш­ка­ми так, чтобы каж­дая по­лу­чи­ла ровно 7 писем.

б)  Общее ко­ли­че­ство писем 5a + 16b долж­но де­лить­ся на ко­ли­че­ство де­ву­шек a + b без остат­ка. За­ме­тим, что тогда в силу тож­де­ства число 11b также долж­но де­лить­ся на a + b. Если a + b не де­лит­ся на 11, то b де­лит­ся на a + b, что про­ти­во­ре­чит усло­ви­ям Зна­чит, a + b де­лит­ся на 11. Наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, де­ля­ще­е­ся на 11,  — это 11. При­мер того, что де­ву­шек может быть ровно 11, при­ведён в преды­ду­щем пунк­те.

в)  Пусть a юно­шей от­пра­ви­ли по 5 писем и n – a юно­шей от­пра­ви­ли по 16 писем. Тогда сум­мар­но они от­пра­ви­ли писем, а число по­лу­чен­ных де­вуш­ка­ми писем не мень­ше

По­лу­ча­ем

от­ку­да то есть

При n  =  32 имеем от­ку­да что про­ти­во­ре­чит усло­вию

Если n  =  31, a  =  2, то сум­мар­ное ко­ли­че­ство от­прав­лен­ных писем равно Эти пись­ма можно рас­пре­де­лить между де­вуш­ка­ми сле­ду­ю­щим об­ра­зом: 30 де­ву­шек по­лу­чи­ли от 0 до 29 писем и ещё одна  — 39. Таким об­ра­зом, наи­боль­шее воз­мож­ное ко­ли­че­ство де­ву­шек  — это 31.

Ответ: а)  да, б)  11, в)  31.