ЕГЭ–2026, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 19 № 691289 Добавить в вариант

В магазине продают квадратные и прямоугольные подносы, длины сторон которых выражаются натуральными числами. Для каждого квадратного подноса обязательно найдётся прямоугольный, равный ему по площади, но шириной на 8 меньше, чем сторона квадратного. И наоборот, для каждого прямоугольного подноса обязательно найдётся квадратный, равный ему по площади, со стороной на 8 больше, чем его ширина.

а)  Может в магазине продаваться прямоугольный поднос шириной 18?

б)  Может в магазине продаваться прямоугольный поднос длиной 32?

в)  Какое наибольшее количество подносов с различными сторонами может продаваться в магазине?

Спрятать решение

Решение.

а)  Вместе с таким прямоугольным подносом должен быть квадратный со стороной $18 плюс 8 = 26$ и площадью $26 в квадрате = 676.$ Значит, и площадь прямоугольника должна быть 676, поэтому его длина равна $дробь: числитель: 676, знаменатель: 18 конец дроби$ — нецелое число.

б)  Пусть ширина прямоугольника равна x, тогда на столе есть квадрат со стороной $x плюс 8$ равной с прямоугольником площади, откуда

$левая круглая скобка x плюс 8 правая круглая скобка в квадрате = 32x равносильно x в квадрате минус 16x плюс 64 = 0 \underset x больше 0 \mathop равносильно x = 8.$

Значит, может быть поднос $32 умножить на 8$ и с ним квадратный $16 умножить на 16.$

в)  Пусть ширина прямоугольника равна a, а длина равна b. Тогда на столе есть квадрат со стороной $a плюс 8$ равной с прямоугольником площади, откуда

$левая круглая скобка a плюс 8 правая круглая скобка в квадрате =ab равносильно a в квадрате плюс 16a плюс 64=ab равносильно 64=a левая круглая скобка b минус 16 минус a правая круглая скобка .$

Значит, 64 кратно a, откуда получаем варианты:

— $a = 1,$ $b минус 16 минус a = 64,$ $b = 81;$

— $a = 2,$ $b минус 16 минус a = 32,$ $b = 50;$

— $a = 4,$ $b минус 16 минус a = 16,$ $b = 36;$

— $a = 8,$ $b минус 16 минус a = 8,$ $b = 32;$

— $a = 16,$ $b минус 16 минус a = 4,$ $b = 36;$

— $a = 32,$ $b минус 16 минус a = 2,$ $b = 50;$

— $a = 64,$ $b минус 16 минус a = 1,$ $b = 81.$

К каждому прямоугольнику есть парный квадрат и все они разные, поэтому может продаваться максимум 14 подносов.

Ответ: а)  нет; б)  да; в)  14.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 672806: 672944 691289 Все

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 517

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь