ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 16 № 642751 Добавить в вариант

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 1400 тысяч рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы:

—  каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

—  с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;

—  в июле 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 годов долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;

—  в июле 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;

—  к июлю 2035 года долг должен быть полностью погашен.

Найдите платёж в 2026 году, если общая сумма выплат по кредиту составила 2120 тыс. рублей.

Спрятать решение

Решение.

Обозначим для удобства изначальную сумму кредита за S  =  1400 тыс. руб. Пусть x тыс. руб.  — постоянная сумма на которую уменьшается долг каждый июль с 2026 по 2030 год, а y тыс. руб.  — с 2031 по 2035 год. Тогда суммы долга в июле по годам с 2025 по 2035 составят:

$S ,$ $S минус x,$ $S минус 2x,$ $S минус 3x,$ $S минус 4x,$ $S минус 5x,$ $S минус 5x минус y,$ $S минус 5x минус 2y,$ $S минус 5x минус 3y,$ $S минус 5x минус 4y,$ $S минус 5x минус 5y=0.$

Из последнего равенства следует, что x + y  =  280, откуда y  =  280 – x.

Пусть k  =  0,1, тогда проценты начисленные с 2026 по 2035 год составят:

kS, $k левая круглая скобка S минус x правая круглая скобка ,$ $k левая круглая скобка S минус 2x правая круглая скобка ,$ $k левая круглая скобка S минус 3x правая круглая скобка ,$ $k левая круглая скобка S минус 4x правая круглая скобка ,$ $k левая круглая скобка S минус 5x правая круглая скобка ,$ $k левая круглая скобка S минус 5x минус y правая круглая скобка ,$ $k левая круглая скобка S минус 5x минус 2y правая круглая скобка ,$ $k левая круглая скобка S минус 5x минус 3y правая круглая скобка ,$ $k левая круглая скобка S минус 5x минус 4y правая круглая скобка ,$

а выплаты в соответствующие годы будут:

$kS плюс x,$ $k левая круглая скобка S минус x правая круглая скобка плюс x,$ $k левая круглая скобка S минус 2x правая круглая скобка плюс x,$ $k левая круглая скобка S минус 3x правая круглая скобка плюс x,$ $k левая круглая скобка S минус 4x правая круглая скобка плюс x,$ $k левая круглая скобка S минус 5x правая круглая скобка плюс y,$ $k левая круглая скобка S минус 5x минус y правая круглая скобка плюс y,$ $k левая круглая скобка S минус 5x минус 2y правая круглая скобка плюс y,$ $k левая круглая скобка S минус 5x минус 3y правая круглая скобка плюс y,$ $k левая круглая скобка S минус 5x минус 4y правая круглая скобка плюс y.$

Тогда сумма выплат является суммой двух различных арифметических прогрессий по пять членов в каждой и составит:

$дробь: числитель: kS плюс x плюс k левая круглая скобка S минус 4x правая круглая скобка плюс x, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 5 плюс дробь: числитель: k левая круглая скобка S минус 5x правая круглая скобка плюс y плюс k левая круглая скобка S минус 5x минус 4y правая круглая скобка плюс y, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 5=2120 равносильно$
$равносильно 10kS плюс 5x минус 35kx плюс 5y минус 10yk=2120 равносильно 1400 плюс 5x минус 3,5x плюс 5y минус y=2120 равносильно$
$равносильно 1,5x плюс 4y=720 равносильно 1,5x плюс 4 левая круглая скобка 280 минус x правая круглая скобка = 720 равносильно x= 160.$ $дробь: числитель: kS плюс x плюс k левая круглая скобка S минус 4x правая круглая скобка плюс x, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 5 плюс дробь: числитель: k левая круглая скобка S минус 5x правая круглая скобка плюс y плюс k левая круглая скобка S минус 5x минус 4y правая круглая скобка плюс y, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 5=2120 равносильно$
$равносильно 10kS плюс 5x минус 35kx плюс 5y минус 10yk=2120 равносильно$
$равносильно 1400 плюс 5x минус 3,5x плюс 5y минус y=2120 равносильно$
$равносильно 1,5x плюс 4y=720 равносильно 1,5x плюс 4 левая круглая скобка 280 минус x правая круглая скобка = 720 равносильно x= 160.$ $дробь: числитель: kS плюс x плюс k левая круглая скобка S минус 4x правая круглая скобка плюс x, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 5 плюс дробь: числитель: k левая круглая скобка S минус 5x правая круглая скобка плюс y плюс k левая круглая скобка S минус 5x минус 4y правая круглая скобка плюс y, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 5=2120 равносильно$
$равносильно 10kS плюс 5x минус 35kx плюс 5y минус 10yk=2120 равносильно$
$равносильно 1400 плюс 5x минус 3,5x плюс 5y минус y=2120 равносильно 1,5x плюс 4y=720 равносильно$
$равносильно 1,5x плюс 4 левая круглая скобка 280 минус x правая круглая скобка = 720 равносильно x= 160.$ $дробь: числитель: kS плюс x плюс k левая круглая скобка S минус 4x правая круглая скобка плюс x, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 5 плюс дробь: числитель: k левая круглая скобка S минус 5x правая круглая скобка плюс y плюс k левая круглая скобка S минус 5x минус 4y правая круглая скобка плюс y, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 5=2120 равносильно$
$равносильно 10kS плюс 5x минус 35kx плюс 5y минус 10yk=2120 равносильно$
$равносильно 1400 плюс 5x минус 3,5x плюс 5y минус y=2120 равносильно$
$равносильно 1,5x плюс 4y=720 равносильно$
$равносильно 1,5x плюс 4 левая круглая скобка 280 минус x правая круглая скобка = 720 равносильно x= 160.$

Тогда выплата за 2026 год составит: kS + x  =  300 тыс. руб.

Ответ: 300 тыс. руб.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 642751: 642735 667319 Все

Источник: Задания 15 ЕГЭ–2023

Классификатор алгебры: Задачи о кредитах

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь