PDF-версии: 
Точка O — центр вписанной окружности треугольника ABC. Прямая BO вторично пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке P.
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь треугольника APC, если известно, что радиус его описанной окружности равен 8, а 
Решение.
а) Точка O — центр вписанной окружности, поэтому прямая BO — биссектриса угла ABC. По лемме о трезубце расстояния от точки пересечения биссектрисы угла треугольника с его описанной окружностью до двух других вершин и инцентра равны. Поэтому треугольник APO равнобедренный. Откуда следует, что
б) По обобщённой теореме синусов
откуда 
Опустим из P перпендикуляр PH на AC. Точка пересечения биссектрисы угла треугольника с серединным перпендикуляром к противолежащей стороне лежит на описанной окружности этого треугольника, поэтому отрезок PH — серединный перпендикуляр к стороне AC. Четырехугольник ABCP вписанный, значит,
Отрезок PH — серединный перпендикуляр к стороне AC, поэтому
Тогда площадь треугольника APC равна 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |