PDF-версии: 
В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 3. На ребре BB1 отмечена точка K так, что KB = 2. Через точки K и С1 проведена плоскость 
параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что плоскость 
проходит через середину ребра A1B1.
б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB1C1С.
Решение. а) В плоскости BB1D1D через точку К проведем прямую параллельно BD1. Пусть эта прямая пересекает диагональ B1D1 в точке L. В плоскости основания A1B1C1D1 проведем прямую C1L пусть она пересекает сторону A1B1. Треугольник KPC1 — сечение, проходящее через точки К и С1 параллельно прямой BD1. Действительно, прямая BD1 параллельна плоскости сечения, так как параллельна лежащей в нем прямой KL.
В плоскости основания A1B1C1D1 через точку A1 проведем прямую параллельно C1P. Пусть она пересекает D1В1 в точке М. По теореме Фалеса имеем:
и 
поэтому 
Тогда
то есть точка P — середина A1B1. Что и требовалось доказать.
б) Пусть теперь точка N — основание высоты B1N прямоугольного треугольника KB1C 1 , B1N является проекцией наклонной PN на плоскость BB1C1C. Тогда угол PNB1 — линейный угол искомого двугранного угла. Имеем:
Находим:
Тем самым, 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |