В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 7. На его ребре BB1 отмечена точка K так. что KB = 4. Через точки K и C1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что A1P : PB1 = 1 : 3, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.
б) Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α.
а) Проведём через точку K прямую, параллельную BD1. Пусть эта прямая пересекает плоскость грани A1B1C1D1 в точке L. Прямая KL лежит в плоскости BB1D1, значит, точка L лежит на диагонали B1D1. Более того,
Прямая C1L пересекает ребро A1B1 в точке P, принадлежащей плоскости α.
Треугольники B1LP и D1LC1 подобны, поэтому
Значит, 
б) Объём куба ABCDA1B1C1D1 равен 343. Объём тетраэдра PKC1B1 равен одной шестой произведения его измерений:
Значит, объём оставшейся части равен 
Ответ: б)