ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 17 № 660915 Добавить в вариант

Периметр треугольника ABC равен 36. Точки E и F  — середины сторон AB и BC соответственно. Отрезок EF касается окружности, вписанной в треугольник ABC.

а)  Докажите, что $AC = 9.$

б)  Найдите площадь треугольника ABC, если $\angle A C B=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Спрятать решение

Решение.

а)  Так как четырехугольник AEFC описанный (см. рис. 1), то $AE плюс FC=AC плюс EF.$ Поскольку E и F  — середины сторон AB и BC, то EF  — средняя линия, а, значит, $AC = 2EF.$ Найдем периметр треугольника ABC:

$P_ABC = AC плюс AB плюс BC = AC плюс 2 левая круглая скобка AE плюс FC правая круглая скобка = AC плюс 2 AC плюс 2 EF = 4 AC.$

Откуда следует, что $AC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби P_ABC,$ то есть $AC=9.$

Рис. 1

Рис. 2

б)  Так как $AC=9,$ то $AB плюс BC=27.$ По теореме Пифагора (см. рис. 2), имеем: $AB в квадрате =BC в квадрате плюс AC в квадрате .$ Получаем:

$система выражений AB плюс BC=27, BC в квадрате плюс 81=AB в квадрате конец системы . равносильно система выражений AB=27 минус BC, BC в квадрате плюс 81=729 минус 54BC плюс BC в квадрате , конец системы . \Rightarrow 54BC = 648 \Rightarrow BC=12.$ $система выражений AB плюс BC=27, BC в квадрате плюс 81=AB в квадрате конец системы . равносильно система выражений AB=27 минус BC, BC в квадрате плюс 81=729 минус 54BC плюс BC в квадрате , конец системы . \Rightarrow$
$\Rightarrow 54BC = 648 \Rightarrow BC=12.$ $система выражений AB плюс BC=27, BC в квадрате плюс 81=AB в квадрате конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений AB=27 минус BC, BC в квадрате плюс 81=729 минус 54BC плюс BC в квадрате , конец системы . \Rightarrow$
$\Rightarrow 54BC = 648 \Rightarrow BC=12.$

Тогда площадь треугольника ABC равна $S_ABC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби BC умножить на AC = 54.$

Ответ: б)  54.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Аналоги к заданию № 660765: 660915 674439 674808 Все

Источник: Задания 17 ЕГЭ–2024

Методы геометрии: Теорема Пифагора

Классификатор планиметрии: Треугольники, Окружность, вписанная в треугольник

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь