PDF-версии: 
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 на серединах рёбер A1C1 и BC отмечены точки M и N соответственно.
а) Докажите, что плоскость AB1M делит отрезок A1N в отношении 2 : 3, считая от вершины A1.
б) Найдите объем пирамиды AMNB1, если сторона основания призмы равна 6, а боковое ребро равно 4.
Решение. а) Пусть плоскость AB1M и прямая A1N пересекаются в точке K. Рассмотрим сечение призмы плоскостью AA1N: точка N1 — середина стороны B1C1, поэтому отрезок NN1 параллелен ребру AA1, точка N1 лежит в плоскости AA1N.
Обозначим P точку пересечения медиан AN1 и B1M. По свойству медиан 
Тогда треугольники A1PK и NAK подобны с коэффициентом 
Следовательно, 
б) Удвоим отрезок В1N, продлив его за точку N до пересечения с прямой СС1 в точке С2. Ясно, что C1С2 = 2C1C. Пирамиды NAMB1 и С2AMB1 имеют общее основание AMB1, а их высоты, проведенные к этому основанию из точек N и С2 соответственно, относятся как 1 : 2. Следовательно,
где h — высота, проведенная к плоскости С2AM из точки B1.
Ясно, что эта высота — отрезок B1M, поскольку прямая B1M перпендикулярна пересекающимся прямым A1C1 и AC, лежащим в плоскости С2AM, а значит, перпендикулярна и самой этой плоскости. Таким образом, 
Чтобы найти площадь треугольника С2AM, вычтем из площади прямоугольника 
площади треугольников 
и 
получим:
Следовательно, 
Ответ: б) 
Приведем другое решение пункта б).
б) Заметим, что:
Из формулы объема 
где h — высота треугольника B1MC1, проведенная из точки M, выразим высоту: 
Найдем площадь четырехугольника B1NCC1:
откуда 
Следовательно,
Таким образом, объем пирамиды AMNB1 равен
Приведем решение методом координат (Александр Турбанов, Липецк).
а) Введём прямоугольную систему координат с началом в точке A, направим координатные оси, как показано на рисунке. Пусть 
и 
определим координаты точек:
Плоскость AMB1 проходит через начало координат, поэтому ее уравнение имеет вид 
Подставляя в уравнение координаты точек M и B1, получаем:
Таким образом,
Пусть точка Q делит отрезок A1N в отношении 2 : 3, и определим ее координаты:
то есть 
Проверим, что точка Q принадлежит плоскости AMB1. Подставляя координаты точки в уравнение плоскости, получим верное равенство:
Следовательно, плоскость AMB1 делит отрезок A1N в отношении 2 : 3.
б) Для вычисления объема пирамиды применим формулу
Из условия следует, что 
и 
Уравнение плоскости AMB1 принимает вид 
то есть 
Расстояние от точки 
до плоскости, найдем по формуле:
В прямоугольном треугольнике AA1M по теореме Пифагора находим: 
В треугольнике A1B1M найдем
Прямая B1M перпендикулярна плоскости ACC1, поэтому перпендикулярна и прямой AM. Следовательно, треугольник AB1M прямоугольный. Найдём его площадь:
Таким образом,
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |