РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Есть четыре коробки: в первой коробке находятся 109 камней, во второй  — 110, в третьей  — 111, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок, всего три камня, и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.

а)  Могло ли в первой коробке оказаться 105 камней, во второй  — 110, в третьей  — 111, а в четвёртой  — 4?

б)  Могло ли в четвёртой коробке оказаться 330 камней?

в)  Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?

Решение. а)  Пусть 2 раза из первых трёх коробок переложили камни в четвёртую. Тогда в первой коробке оказалось 107 камней, во второй  — 108 камней, в третьей  — 109 камней, а в четвёртой  — 6 камней. Если после этого переложить камни из первой, третьей и четвёртой коробок во вторую, то в первой коробке окажется 106 камней, во второй  — 111, в третьей  — 108, а в четвёртой  — 5. Если после этого переложить камни из первой, второй и четвёртой коробок в третью, то в первой коробке окажется 105 камней, во второй  — 110, в третьей  — 111, а в четвёртой  — 4.

б)  Если в первой коробке оказалось 330 камней, то во второй, в третьей и в четвёртой коробках не осталось камней.

Пусть в какой-то момент в коробках оказалось a, b, c и d камней соответственно. Тогда после одного хода в коробках могло оказаться либо a − 1, b − 1, c − 1 и d + 3 камня, либо a − 1, b − 1, c + 3 и d − 1 камень, либо a − 1, b + 3, c − 1 и d − 1 камень, либо a + 3, b − 1, c − 1 и d − 1 камень соответственно. Заметим, что разность между количествами камней во второй и в третьей коробках либо не изменилась, либо изменилась на 4. Сначала разность количеств камней во второй и в третьей коробках равнялась 1. Следовательно, ни в какой момент она не могла стать равной 0. Значит, в этих двух коробках всегда разное число камней. Следовательно, в первой коробке не могло оказаться 330 камней.

в)  Сначала разность количеств камней в любых двух коробках не делится на 4. Следовательно, ни в какой момент в двух коробках не могло оказаться одинаковое число камней. Значит, во второй, в третьей и в четвёртой коробках не меньше 0 + 1 + 2  =  3 камней суммарно, а в первой коробке не больше 327 камней.

Покажем, что в первой коробке могло оказаться 327 камней. Пусть 28 раз из первых трёх коробок переложили камни в четвёртую. Тогда в первой коробке оказался 81 камень, во второй  — 82, в третьей  — 83, а в четвёртой  — 84. Если после этого 82 раза переложить камни из второй, третьей и четвёртой коробок в первую, то в первой коробке окажется 327 камней, во второй  — 0 камней, в третьей  — 1 камень, а в четвёртой  — 2 камня.

Ответ: а) да; б) нет; в) 327.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б)	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	651072	а) да; б) нет; в) 327.

Ключ