PDF-версии: 
На стороне AC равностороннего треугольника ABC взяли точку M. Серединный перпендикуляр к BM пересекает AB и BC в точках E и K соответственно.
а) Докажите, что углы AEM и KMC равны.
б) Найдите отношение площадей треугольников AEM и MKC, если 
Решение. а) Из симметрии относительно отрезка EK получаем, что треугольники EMK и EBK равны, следовательно,
Пусть 
Тогда
Значит,
Таким образом, углы AEM и KMC равны.
б) Пусть 
и 
По теореме косинусов:
следовательно,
Треугольники AEM и CMK подобны (по двум углам). Коэффициент подобия равен:
Таким образом, отношение площадей треугольников AEM и MKC равно:
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |