РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 17 № 642736 Добавить в вариант

Источник: Задания 16 ЕГЭ–2023

Методы геометрии: Симметрия в решениях, Теорема косинусов

Классификатор планиметрии: Равносторонний треугольник, Подобие, Отношение длин, площадей, объемов подобных фигур

Планиметрическая задача. Треугольники и их свойства

Треугольник ABC равносторонний. На стороне AC выбрана точка M, серединный перпендикуляр к отрезку BM пересекает сторону AB в точке E, а сторону BC в точке K.

а)  Доказать что угол AEM равен углу CMK.

б)  Найти отношение площадей треугольников AEM и CMK, если $AM : C M = 1 : 4.$

Решение. а)  Угол ABC равен 60°. Из симметрии относительно EK получаем, что угол EMK равен 60°. Пусть угол AEM равен α. Тогда $\angle AME = 180 градусов минус 60 градусов минус альфа = 120 градусов минус альфа .$ Выразим угол CMK:

$\angle CMK = 180 градусов минус \angle AME минус \angleEMK = 180 градусов минус левая круглая скобка 120 градусов минус альфа правая круглая скобка минус 60 градусов = альфа = \angle AEM.$ $\angle CMK = 180 градусов минус \angle AME минус \angleEMK =$
$= 180 градусов минус левая круглая скобка 120 градусов минус альфа правая круглая скобка минус 60 градусов = альфа = \angle AEM.$

б)  Пусть AM  =  x, CM  =  4x, AE  =  y, тогда AB  =  5x, EM  =  EB  =  5x − y. По теореме косинусов:

$левая круглая скобка 5x минус y правая круглая скобка в квадрате = x в квадрате плюс y в квадрате минус 2 умножить на x умножить на y умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно 25x в квадрате минус 10xy плюс y в квадрате минус xy равносильно 24x в квадрате = 9xy равносильно y = дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби x.$ $левая круглая скобка 5x минус y правая круглая скобка в квадрате = x в квадрате плюс y в квадрате минус 2 умножить на x умножить на y умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно 25x в квадрате минус 10xy плюс y в квадрате минус xy равносильно 24x в квадрате = 9xy равносильно y = дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби x.$

Треугольники AEM и CMK подобны по двум углам, причем AE и CM  — соответственные стороны. Имеем:

$дробь: числитель: S_AEM, знаменатель: S_CKM конец дроби = левая круглая скобка дробь: числитель: AE, знаменатель: CM конец дроби правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка дробь: числитель: y, знаменатель: 4x конец дроби правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка дробь: числитель: дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби x, знаменатель: 4x конец дроби правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в квадрате = дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби .$

Ответ: 4 : 9.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: 4 : 9.

642736

4 : 9.

Источник: Задания 16 ЕГЭ–2023

Методы геометрии: Симметрия в решениях, Теорема косинусов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	642736	4 : 9.