PDF-версии: 
Треугольник ABC равносторонний. На стороне AC выбрана точка M, серединный перпендикуляр к отрезку BM пересекает сторону AB в точке E, а сторону BC в точке K.
а) Доказать что угол AEM равен углу CMK.
б) Найти отношение площадей треугольников AEM и CMK, если 
Решение. а) Угол ABC равен 60°. Из симметрии относительно EK получаем, что угол EMK равен 60°. Пусть угол AEM равен α. Тогда
Выразим угол CMK:
б) Пусть AM = x, CM = 4x, AE = y, тогда AB = 5x, EM = EB = 5x − y. По теореме косинусов:
Треугольники AEM и CMK подобны по двум углам, причем AE и CM — соответственные стороны. Имеем:
Ответ: 4 : 9.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |