PDF-версии: 
Дан ромб ABCD. Прямая, перпендикулярная стороне AD, пересекает его диагональ AC в точке M, диагональ BD — в точке N, причем AM : MC = 1 : 2, BN : ND = 1 : 3.
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь ромба, если MN = 5.
Решение. а) Пусть BN = x и
точка O — точка пересечения AС и BD. Точка P — точка пересечения MN и AD, отрезок OH — высота треугольника AOD. Тогда
Следовательно, 
где 
и 
Треугольники AOH и ODH подобны, следовательно, 
где 
то есть 
Находим:
тогда
Итого:
б) Пусть 
Тогда 
откуда 
или 
Заметим, что
следовательно, 
Получаем 
следовательно, 
откуда 
Итого находим площадь ромба ABCD:
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |