PDF-версии: 
На сфере α выбрали пять точек: A, B, C, D и S. Известно, что AB = BC = CD = DA = 4, SA = SB = SC = SD = 7.
а) Докажите, что многогранник SABCD — правильная четырёхугольная пирамида.
б) Найдите объём многогранника SABCD.
Решение. а) Заметим, что точки A, B, C и D равноудалены от точки S, следовательно, лежат на сфере с центром в этой точке. Таким образом, все эти точки лежат в пересечении двух сфер. Пересечением двух сфер является окружность, следовательно, точки A, B, C и D лежат на одной окружности, в частности в одной плоскости. Заметим, что тогда ABCD — ромб, вписанный в окружность, и, следовательно, квадрат. Таким образом, SABCD — пирамида в основании, которой лежит квадрат, а боковые ребра равны, следовательно, это правильная четырехугольная пирамида.
б) Пусть O — центр квадрата ABCD, его площадь: 
Тогда высота 
Таким образом, объём многогранника SABCD равен: 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |