PDF-версии: 
Точка М — середина бокового ребра SC правильной четырёхугольной пирамиды SABCD, точка N лежит на стороне основания ВС. Плоскость α проходит через точки М и N параллельно боковому ребру SA.
а) Плоскость α пересекает ребро DS в точке L. Докажите, что 
б) Пусть 
Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость α разбивает пирамиду.
Решение. а) Пусть O — центр квадрата ABCD. Рассмотрим плоскость SAC. Плоскость α пересекает её по прямой, параллельной SA. Это прямая MO. Тогда плоскость α пересекает плоскость ABC по прямой NO. Пусть NO пересекает AD в точке K. В силу симметрии ABCD относительно O имеем
Но из параллельности плоскости α и прямой SA получаем, что прямые KL и SA параллельны, поэтому по теореме о пропорциональных отрезках
что и требовалось доказать.
б) Пусть NK пересекает CD в точке P. Из подобия прямоугольных треугольников PKD и PNC по острому углу получаем, что PD = CD. Отметим, что объем MLDKNC равен разности объемов пирамид MPNC и LPKD. Выразим объемы этих пирамид через объем SABCD.
M — середина SС, поэтому высота пирамиды MPNC равна половине высоты SABCD, в то же время
откуда 
Из доказанного в пункте а) следует, что 
а это значит, что высота высота пирамиды LPKD равна трети высоты SABCD, а
откуда 
Окончательно
откуда немедленно следует ответ.
Ответ: б) 5 : 13.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |