Основанием правильной треугольной пирамиды MABC является треугольник ABC со стороной 6. Ребро MA перпендикулярно грани MBC. Через вершину пирамиды M и середины ребер
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью α является равносторонним треугольником.
б) Найдите расстояние от вершины C до плоскости α.
а) Пусть K и L — середины сторон BС и AC соответственно. Тогда KL = 3. Рассмотрим треугольник ACM, из условия следует, что он равнобедренный и прямоугольный так как 
и, следовательно, 
Отрезок ML в нём является медианой из вершины прямого угла, следовательно, 
Аналогично, из равенства боковых граней, следует, что MK = 3, следовательно, треугольник KLM — равносторонний.
б) Пусть P — середина стороны AB, R — точка пересечения CP и KL, O — центр основания. Из точек P и C на прямую MR опустим перпендикуляры — PG и CH, соответственно. Заметим, что PG и CH лежат в плоскости CMP, прямая KL перпендикулярна плоскости CMP, следовательно, 
и 
а значит, прямые PG и CH перпендикулярны плоскости KLM и CH является искомым расстоянием. При этом R — середина CP и прямоугольные треугольники PRG и CRH равны. Имеем:
следовательно, 
Ответ: б) 