Основанием правильной треугольной пирамиды MABC является треугольник ABC со стороной 6. Ребро MA перпендикулярно грани MBC. Через вершину пирамиды M и середины ребер AC и AB проведена плоскость α.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью α является равносторонним треугольником.
б) Найдите расстояние от вершины C до плоскости α.
а) Пусть K и L — середины сторон AB и AC соответственно. Тогда KL = 3. Рассмотрим треугольник ACM, из условия следует, что он равнобедренный и прямоугольный, а отрезок ML в нём является медианой из вершины прямого угла, следовательно, 
Аналогично, MK = 3, следовательно, треугольник KLM — равносторонний.
б) Пусть P — середина стороны BC, R — точка пересечения AP и KL, O — центр основания. Заметим, что прямая BC параллельна плоскости α, следовательно, расстояние от точки C до плоскости α равно расстоянию от точки P до плоскости α. Найдём его. Из точки P опустим перпендикуляр PH на прямую MR. Заметим, что PH лежит в плоскости AMP, прямая BC перпендикулярна плоскости AMP, следовательно, прямые PH и BC перпендикулярны, а, значит, прямая PH перпендикулярна плоскости KLM и является искомым расстоянием. Имеем:
следовательно, 
Ответ: б) 