Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 10 № 564556

На рисунке изображён график функции вида f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи x, знаменатель: b конец дроби плюс c правая круглая скобка плюс d, где числа a, b, c и d  — целые. Найдите f левая круглая скобка f левая круглая скобка дробь: числитель: 14, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка .

Спрятать решение

Решение.

По графику f_max=4, f_min=0, тогда d= дробь: числитель: f_max плюс f_min, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 4 плюс 0, знаменатель: 2 конец дроби =2, и |a|= дробь: числитель: f_max минус f_min, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 4 минус 0, знаменатель: 2 конец дроби =2.

 

По графику f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =4, тогда, если a= минус 2, то

 минус 2 косинус c плюс 2=4 равносильно косинус c= минус 1  — не имеет целочисленных решений,

если a=2, то

2 косинус c плюс 2=4 равносильно косинус c=1 равносильно c=2 Пи k, k принадлежит Z \undersetc принадлежит Z \mathop равносильно c=0.

Значит, a=2 и c=0.

 

Найдём наименьший положительный период функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка =2 косинус дробь: числитель: Пи x, знаменатель: b конец дроби плюс 2:

2 косинус дробь: числитель: Пи x, знаменатель: b конец дроби плюс 2=2 косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи x, знаменатель: b конец дроби \pm 2 Пи правая круглая скобка плюс 2=2 косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: b конец дроби левая круглая скобка x \pm 2b правая круглая скобка правая круглая скобка плюс 2.

Наименьший положительный период функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка равен  \pm 2b, а по графику наименьший положительный период равен 4, тогда b= \pm 2.

 

Таким образом, f левая круглая скобка x правая круглая скобка =2 косинус левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка плюс 2=2 косинус дробь: числитель: Пи x, знаменатель: 2 конец дроби плюс 2. Найдём f левая круглая скобка дробь: числитель: 14, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .

f левая круглая скобка дробь: числитель: 14}3 правая круглая скобка =2 косинус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2=2 косинус дробь: числитель: {, знаменатель: конец дроби pi, знаменатель: 3 конец дроби плюс 2=3.

Тогда f левая круглая скобка f левая круглая скобка дробь: числитель: 14, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка =f левая круглая скобка 3 правая круглая скобка =2.

 

Ответ: 2.