Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 10 № 564531

На рисунке изображён график функции вида f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a косинус левая круглая скобка b Пи x плюс c правая круглая скобка плюс d, где числа a, b, c и d — целые. Найдите f левая круглая скобка дробь: числитель: 100, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .

Спрятать решение

Решение.

Из графика видно, что f_max=1, f_min= минус 3, тогда:

d= дробь: числитель: f_max плюс f_min, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 1 минус 3, знаменатель: 2 конец дроби = минус 1,

|a|= дробь: числитель: f_max минус f_min, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 1 минус левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби =2.

Далее, из графика получаем, что f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =1, тогда, если a= минус 2, то  минус 2 косинус c минус 1=1, откуда  косинус c= минус 1. Полученное уравнение не имеет целочисленных решений. Если же a=2, то

2 косинус c минус 1=1 равносильно косинус c=1 равносильно c=2 Пи k, k принадлежит Z \undersetc принадлежит Z \mathop равносильно c=0.

Значит, a=2 и c=0, откуда f левая круглая скобка x правая круглая скобка =2 косинус левая круглая скобка b Пи x правая круглая скобка минус 1.

Наименьший положительный период этой функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка =2 косинус левая круглая скобка b Пи x правая круглая скобка минус 1 равен  дробь: числитель: 2, знаменатель: конец дроби |b|, а по графику наименьший положительный период равен 2, следовательно, b= \pm 1. Таким образом,

f левая круглая скобка x правая круглая скобка =2 косинус левая круглая скобка \pm Пи x правая круглая скобка минус 1=2 косинус левая круглая скобка Пи x правая круглая скобка минус 1.

Найдём f левая круглая скобка дробь: числитель: 100, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка :

f левая круглая скобка дробь: числитель: 100}3 правая круглая скобка =2 косинус дробь: числитель: 100 Пи , знаменатель: 3 конец дроби минус 1=2 косинус левая круглая скобка 32 Пи плюс дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка минус 1=2 косинус дробь: числитель: {, знаменатель: 4 конец дроби Пи , знаменатель: 3 конец дроби минус 1= минус 2.

Ответ: −2.

 

Приведем другое решение.

Сравним данный в условии график с графиком функции y= косинус x. Точка x=0 по-прежнему точка максимума, поэтому c=0 и a больше 0. График сдвинут на одну единицу вниз, значит, d= минус 1. Амплитуда графика (разность между наибольшим и наименьшим значением) увеличилась в 2 раза и a>0, следовательно, a=2. Тем самым

f левая круглая скобка x правая круглая скобка =2 косинус левая круглая скобка b Пи x правая круглая скобка минус 1.

Из условия f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка = минус 3 получаем  косинус левая круглая скобка Пи b правая круглая скобка = минус 1, откуда b=1. Окончательно,

f левая круглая скобка x правая круглая скобка =2 косинус левая круглая скобка Пи x правая круглая скобка минус 1.

Осталось найти

f левая круглая скобка дробь: числитель: 100}3 правая круглая скобка =2 косинус дробь: числитель: 100 Пи , знаменатель: 3 конец дроби минус 1=2 косинус левая круглая скобка 32 Пи плюс дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка минус 1=2 косинус дробь: числитель: {, знаменатель: 4 конец дроби Пи , знаменатель: 3 конец дроби минус 1= минус 2.

Спрятать решение · ·
IRINA SHRAGO 20.01.2022 00:01

Используем преобразование графиков: Сравним данный график с графиком функции y=Cos x.

Т.к. х=0 по прежнему точка максимума, значит с=0 и а>0. График опустился на 1 вниз, значит d=-1. Амплитуда графика (т.е. разность между наибольшим и наименьшим значением) увеличилась в 2 раза и а>0, значит а=2.

Т.о. f(x)=2Cos(b*ПИ*х)-1.

b найдём из условия f(1)=-3. Cos(b*ПИ)=-1, b=1.

Итак f(x)=2Cos(ПИ*x)-1.

Осталось найти f(100/3)=-2

Служба поддержки

Добавили. Спасибо!