РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 17 № 563898 Добавить в вариант

Источники:

ЕГЭ по математике 29.06.2021. Основная волна, резервный день. Центр. Вариант 401;

Задания 16 ЕГЭ–2021.

Методы геометрии: Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}

Классификатор планиметрии: Вписанный угол, опирающийся на диаметр, Окружности, Окружности и треугольники, Треугольники

Планиметрическая задача. Окружности и треугольники, разные задачи

Окружность с центром О, построенная на катете AC прямоугольного треугольника ABC как на диаметре, пересекает гипотенузу AB в точках A и D. Касательная, проведенная к этой окружности в точке D, пересекает катет BC в точке M.

а)  Докажите, что BM  =  CM.

б)  Прямая DM пересекает прямую AC в точке P, прямая OM пересекает прямую BP в точке K. Найдите BK : KP, если $косинус \angle BAC = дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби .$

Решение. а)  Заметим, что вписанный угол ADC опирается на диаметр, поэтому CD  — высота треугольника ABC. Далее, MC  =  MD как касательные к окружности (MC  — касательная, поскольку угол MCO прямой). Треугольник MCD равнобедренный, поэтому углы MCD и MDC равны. Далее вычислим:

$\angle MDB=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle MDC=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle MCD=\angle MBD.$

Отсюда MB  =  MD, а значит, и BM  =  CM. Что и требовалось доказать.

б)  Заметим, что OM  — средняя линия треугольника ABC, поэтому отрезки OK и AB параллельны. Отсюда

$BK:KP=DM:MP=CM:MP= косинус \angle CMP.$

Вычислим отношение BK к KP:

$косинус \angle CMP= косинус 2\angle MCD= косинус 2\angle BAC=2 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус 1= дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: $дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби .$

563898

$дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби .$

Источники:

ЕГЭ по математике 29.06.2021. Основная волна, резервный день. Центр. Вариант 401;

Задания 16 ЕГЭ–2021.

Методы геометрии: Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	563898	$дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби .$