PDF-версии: 
Отрезок CH — высота прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C. На катетах AC и BC выбраны точки M и N соответственно такие, что 
a) Докажите, что треугольник MNH подобен треугольнику ABC.
б) Найдите CN, если BC = 2, AC = 4, CM = 1.
Решение. а) Заметим, что сумма углов MHN и MCN равна 180°, поэтому четырехугольник CMHN вписан в окружность. Углы HMN и HCN равны как вписанные. Углы HCN и CAB равны, потому что каждый из них равен
Таким образом, треугольники HMN и CAB подобны по двум углам. Это и требовалось доказать.
б) Заметим, что
а 
Тогда треугольники CMH и BNH подобны по двум углам, причем из пункта а) следует, что
Из этой цепочки равенств получаем, что 
а тогда 
Ответ: 
Примечание.
Виктор Мосяндз прислал нам следующий комментарий. Вычисляя 
и 
а также зная 
и 
можно заметить, что 
Из этого следует, что прямая AB не является касательной к окружности (иначе бы равенство было верным), а потому прямая АВ помимо точки H имеет с окружностью еще одну точку, лежащую на отрезке АB.
Тем не менее в решении нет ошибки: мы не изучали взаимное расположение окружности и прямой, поскольку оно не влияло на ход наших рассуждений.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |