PDF-версии: 
Треугольник ABC прямоугольный с прямым углом C. Проведена высота CH. На сторонах AC и BC соответственно отмечены точки M и N так, что угол MHN прямой.
а) Докажите, что треугольники MNH и ABC подобны.
б) Найдите BN, если 
Решение. а) Заметим, что сумма углов MHN и MCN равна 180°, поэтому четырехугольник CMHN вписан в окружность. Углы HMN и HCN равны как вписанные. Углы HCN и CAB равны, потому что каждый из них равен
Таким образом, треугольники HMN и CAB подобны по двум углам. Что и требовалось доказать.
б) Заметим, что 
а 
Поэтому треугольники CMH и BNH подобны по двум углам, причем из пункта а) следует, что
Из этой цепочки равенств получаем, что 
Ответ: 2.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |