Ре­ше­ние. а)  Про­ве­дем от­рез­ки PB и PC (см. рис. слева). От­ре­зок AP  — диа­метр, по­это­му углы PCA и PBA  — пря­мые. От­сю­да сле­ду­ет, что пря­мая BB₁ па­рал­лель­на пря­мой PC, а пря­мая СС₁ па­рал­лель­на пря­мой PB. Тогда BPCH  — па­рал­ле­ло­грамм, а его диа­го­на­ли BC и PH точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Пусть K  — се­ре­ди­на BC, O  — центр окруж­но­сти (см. рис. спра­ва). Тре­уголь­ник OBC рав­но­бед­рен­ный с ос­но­ва­ни­ем BC, по­это­му OK  — его вы­со­та. От­ре­зок OK  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка AHP, а зна­чит, AH  =  2OK  =  8. Че­ты­рех­уголь­ник AC₁HM впи­сан в окруж­ность с диа­мет­ром AH, тогда

При­ме­ним тео­ре­му си­ну­сов:

Ответ: