PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при котором система уравнений
Решение. Построим график первого уравнения системы. Оно определено, если 
и одновременно 
то есть на множестве 
При таких значениях переменной дробь равна нулю, если один из множителей, стоящих в числителе, равен нулю. Тем самым получаем:
График функции (1) — верхняя полуокружность с центром в точке (0; 0) и радиусом 
График функции (2) — парабола с вершиной в точке (0; 2), имеющая нули в точках 
Второе уравнение системы запишем в виде 
его графиком являются множество прямых, проходящих через точку (−1; −1).
Обозначим точки, как показано на рисунке. Исходная система имеет единственное решение, если графики ее первого и второго уравнений имеют ровно одну общую точку. Это возможно, если задаваемая вторым уравнением прямая проходит: а) через точку A, б) через точку B, в) так, что часть прямой, лежащая справа от точки P, расположена ниже прямой PC, но не ниже прямой PD (на рисунке график первого уравнения выделен цветом жимолости, подходящие графики второго уравнения выделены апельсиновым).
Найдем, при каких значениях параметра, прямая 
проходит через:
1) точку A, тогда: 
откуда 
2) точку B, тогда: 
откуда 
3) точку C, тогда: 
откуда 
4) точку D, тогда: 
откуда 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точки a = −2. | 3 |
| Верно рассмотрен хотя бы один из случаев решения, и получено или множество значений a, отличающиеся от искомого только включением точек a = 8, a = 3 и/или a = −2, или множество значений a, отличающиеся от искомого только включением точек a = 0, i > = −1 и/или i > = −2. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения параболы и лучей (аналитически или графически). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |