РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

У Миши в копилке есть двухрублёвые, пятирублёвые и десятирублёвые монеты. Если взять 10 монет, то среди них обязательно найдется хотя бы одна двухрублёвая. Если взять 15 монет, то среди них обязательно найдётся хотя бы одна пятирублёвая. Если взять 20 монет, то среди них обязательно найдется хотя бы одна десятирублёвая.

а)  Может ли у Миши быть 30 монет?

б)  Какое наибольшее количество монет может быть у Миши?

в)  Какая наибольшая сумма рублей может быть у Миши?

Решение. а)  Пусть у него x двухрублевых, y пятирублевых и z десятирублевых монет. По условию y + z < 10, x + z < 15, x + y < 20. Значит, y + z ≤ 9, x + z ≤ 14, x + y ≤ 19. Сложив эти неравенства и поделив на 2, получим x + y + z ≤ 21, поэтому 30 монет быть не может.

б)  В копилке может быть 21 монета  — при x  =  12, y  =  7, z  =  2. Отметим, что это единственное решение системы уравнений y + z  =  9, x + z  =  14, x + y  =  19.

в)  По условию x + y + z ≥ 20, то есть x + y + z  =  20 или x + y + z  =  21. Если x + y + z  =  21, то x  =  12, y  =  7, z  =  2 и общая сумма денег равна

$12 умножить на 2 плюс 7 умножить на 5 плюс 2 умножить на 10=79.$

Если же x + y + z  =  20, то поскольку y + z ≤ 9, получаем что x ≥ 20 − 9  =  11. Аналогично, y ≥ 20 − 14  =  6. Значит,

$z=20 минус x минус y меньше или равно 20 минус 11 минус 6=3.$

Сумма денег у Миши равна

$2x плюс 5y плюс 10z=10 левая круглая скобка x плюс y плюс z правая круглая скобка минус 8x минус 5y меньше или равно 10 умножить на 20 минус 8 умножить на 11 минус 5 умножить на 6=82$ рубля.

Это значение достигается при x  =  11, y  =  6, z  =  3.

Ответ: а)  нет; б)  21; в)  82.

Приведем еще одно решение (Ирина Шраго).

а)  Нет. Если в копилке 30 монет, то по условию: двухрублëвых не меньше 21, пятирублëвых не меньше 16, десятирублевых не меньше 11. Таким образом, всего монет не меньше 48. Противоречие.

б)  Пусть в копилке лежит n монет, тогда: двухрублëвых не меньше n – 9, пятирублëвых не меньше n – 14, десятирублëвых не меньше n – 19. Всего монет n, откуда $n больше или равно 3n минус 42,$ то есть $n меньше или равно 21.$ Следовательно, наибольшее количество монет 21: 12 двухрублевых, 7 пятирублëвых и 2 десятирублëвых.

в)  По условию количество монет не меньше 20, то есть кроме примера из б), в котором сумма равна 79 руб., возможен вариант $n=20.$ При наименьших возможных значениях количеств двухрублëвых (11) и пятирублëвых монет (6), десятирублëвых монет может быть $20 минус 11 минус 6=3.$ Тогда в копилке будет 82 руб., это наибольшая возможная сумма в копилке.

Ответ: а)  нет; б)  21; в)  82.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Получены верные обоснованные ответы в пунктах а, б и в	4
Получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и в	3
Получен верный обоснованный ответ в пункте б, пункты а и в не решены, либо получен верный обоснованный ответ в пункте в, пункты а и б не решены	2
Приведён пример в пункте а, пункты б и в не решены	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	562042	а)  нет; б)  21; в)  82.

Ключ