Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 561230
i

В тре­уголь­ни­ке MPK бис­сек­три­са угла K пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну MP в точке A. Окруж­ность, опи­сан­ная около тре­уголь­ни­ка AMK пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну PK в точке B.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABM рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABM, если MK  =  9, PK  =  6, MP  =  5.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Дуги AB и AM равны, так как на них опи­ра­ют­ся рав­ные впи­сан­ные углы AKB и AKM, зна­чит, равны и стя­ги­ва­ю­щие их хорды AB и AM, тре­уголь­ник ABM рав­но­бед­рен­ный по опре­де­ле­нию.

б)  Из тре­уголь­ни­ка MPK по тео­ре­ме ко­си­ну­сов най­дем

ко­си­нус \angle MKP= дробь: чис­ли­тель: PK в квад­ра­те плюс MK в квад­ра­те минус MP в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на PK умно­жить на MK конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 36 плюс 81 минус 25, зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на 6 умно­жить на 9 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 23, зна­ме­на­тель: 27 конец дроби .

Че­ты­рех­уголь­ник ABKM впи­сан в окруж­ность, зна­чит, его про­ти­во­ле­жа­щие углы в сумме дают 180°. Имеем:

синус \angle BAM= синус \angle MKP= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус ко­си­нус в квад­ра­те \angle MKP конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 23, зна­ме­на­тель: 27 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 10 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 27 конец дроби .

По тео­ре­ме о бис­сек­три­се внут­рен­не­го угла тре­уголь­ни­ка

AM:AP=MK:PK=9:6,

от­ку­да на­хо­дим, что AM  =  AB  =  3. Те­перь найдём пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABM:

S_ABM= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби AM умно­жить на AB умно­жить на синус \angle BAM= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 3 умно­жить на 3 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 10 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 27 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Ответ: б) дробь: чис­ли­тель: 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 561178: 561230 Все

Источник: Проб­ный ва­ри­ант ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 18.03.21 Санкт-Пе­тер­бург. Ва­ри­ант №2
Методы геометрии: Свой­ства бис­сек­трис, Тео­ре­ма ко­си­ну­сов
Классификатор планиметрии: Окруж­но­сти, Окруж­но­сти и тре­уголь­ни­ки, Тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025